Problemas dificiles

Éste no es un problema raro. Es un problema difícil. Al menos así me lo parece a mí.
Ahí va el problema:

1)    PROBLEMA Nº 1 DE ESTA ENTRADA

Ordenamos al azar cuatro letras a y cuatro letras b. Teniendo en cuenta el orden en el que aparecen de izquierda a derecha vamos comparando las letras a y b por parejas, la primera a que aparece con la primera b, la segunda con la segunda, etc. Llamamos k al número de letras a que aparecen delante de su pareja b. Pongo algunos ejemplos para que queda claro del todo:

- La ordenación abaabbba tendría k=3, porque la última a aparece detrás de su pareja b, y el resto de letras a aparecen delante de sus parejas b.

- baababba tendría k=2.

Entonces el problema es hallar la probabilidad de obtener una ordenación con k=1,2,3,4, es decir, la fórmula general de P(k).




Y aquí pongo el enlace con la página de donde he sacado el problema:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=63936.0

A ver si alguien sabe resolverlo


Bueno, voy a poner un problema bastante más sencillo:

2)     PROBLEMA Nº 2 DE ESTA ENTRADA

¿Será posible encontrar cuatro números irracionales distintos tales que su suma sea un número racional, y su producto sea 2009?


3)    PROBLEMA Nº 3 DE ESTA ENTRADA

El que sigue es otro problema difícil, en realidad un reto:
Considere estos dos números: 8.712 y 9.801.
A simple vista, no presentan ningún “borde” que los haga
atractivos. Sin embargo, son los dos únicos números de 4
dígitos múltiplos exactos de sus reversos, que son 2.178 y
1.089. Es decir,
                          8.712 = 4 · 2.178
y por otro lado:     9.801 = 9 · 1.089

En todo caso, si este tipo de situaciones lo atrapan, lo
interesante es que trate de demostrar que este hecho sólo se
da con esos dos números de 4 dígitos y en ningún otro caso.

Ésta es la fuente de donde he copiado el problema. Quizá contenga pistas o soluciones.


4)    PROBLEMA Nº 4 DE ESTA ENTRADA.
¿Cuál sería el mcd de  y    ?

Piénsalo y si no te sale, consulta  esta dirección, pero tendrás que registrarte y preguntar, porque me temo que no hay ninguna respuesta.


5)    PROBLEMA Nº 5 DE ESTA ENTRADA

Ante una máquina de café hay una cola de n+m personas. El precio de un café es de 0.50 €;  entre las n+m personas, n sólo tienen una moneda de un euro y m sólo una móneda de 0.50 €.  Inicialmente, la máquina no tiene cambio y las personas no colaboran entre sí prestándose las monedas. ¿De cuántas maneras distintas se puede ordenar la cola de manera que no se quede sin cambio la máquina? A ver quién es el primero en acertar!

Tienes pistas aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=62583.0


6)    PROBLEMA Nº 6 DE ESTA ENTRADA
Demostrar que si  es el conjunto de las sucesiones binarias finitas. La aplicación que aplica a cada sucesión binaria finita  el número natural  es una biyección

PISTAS EN ESTA ENTRADA



7)    PROBLEMA Nº 7 DE ESTA ENTRADA

Probar que ,en el intervalo  .

Pistas en http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=68524.0



8)    PROBLEMA Nº 8 DE ESTA ENTRADA
Encontrar (y demostrar) el límite de la siguiente sucesión:     .    
Las técnicas usadas deben ser elementales (teorema del sandwich, propiedades de los límites, etc)


Pistas en http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=68589.msg273660#msg273660

9)    PROBLEMA Nº 9 DE ESTA ENTRADA
Sean  tales que  son los lados de un triángulo. Probar que 



Pistas:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=71767.0

10)    PROBLEMA Nº 10 DE ESTA ENTRADA
Probar que   (Dar una prueba que use el método de inducción completa y otra que no)

Pistas:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=71480.0

11)    PROBLEMA Nº 11 DE ESTA ENTRADA
Proposición:Sean  y  dos conjuntos finitos tales que  y  con . Entonces el número de aplicaciones inyectivas de  en  es 









Pistas: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70273.0

12)    PROBLEMA Nº 12 DE ESTA ENTRADA
 Un número primo se dice que es extraño
si tiene un solo dígito, o si tiene dos o más dígitos pero los dos números que se obtienen omitiendo el primero o el último dígito son también primos extraños.
¿Cuántos números primos extraños hay? 

13)    PROBLEMA Nº 13 DE ESTA ENTRADA
  Un número primo se dice que es extraño si tiene un solo dígito, o si tiene dos o más dígitos pero los dos números que se obtienen omitiendo el primero o el último dígito son también primos extraños.

14)    En una bolsa tenemos tres bolas blancas y cinco bolas de distintos colores. Sí según vamos sacando las bolas de una en una las vamos emparejando, ¿Qué probabilidad hay de que se emparejen dos bolas blancas?.
¡Cuidado con la manera de interpretar el enunciado! Puedes estar resolviendo problemas diferentes al que marca el enunciado. La discusión, muy interesante, la encontrarás en el siguiente enlace:
Pistas en  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83275.20

15)       Por último, un buen número de problemas "intermedios" no muy muy difíciles, pero casi, los podrás encontrar en lo que sigue: En este enlace tienes problemas que requieren conocimientos de enseñanza secundaria, pero que no son en general simple aplicación de la teoría (ejercicios) sino que requieren elaboración propia y creatividad adicional:
 http://www.unavarra.es/dep-matematicas/tablon-de-anuncios?contentId=124059

  16)   ¿Y qué problema más complicado que la famosa paradoja de Bertrand? (Paradoja en el terreno probabilístico)
En este enlace puedes informarte
https://imperiodelaciencia.wordpress.com/2011/11/03/la-paradoja-de-bertrand/ 

17)   El siguiente enunciado apareció en el foro de matematicas (informate sobre este foro en http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/p/blog-page_21.html )
  Hola esta pregunta fue tomada en el examen de admisión de una universidad de mi país, han dado dferentes soluciones diferentes academias espero saber su opinión:
En la siguiente sucesión calcule a+b:    3 ; 13 ; 5 ; 9 ; 8 ; 1 ; 13 ; a ; b ; ...
a) -11     b) -7   c) -1    d) 3     e) 5

Posibles pistas en el hilo del foro de matgemáticas
 http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83750.msg335699;topicseen#msg335699
 
EPÍLOGO: Problemas resueltos de matemáticas ordenados por temas (enseñanza media):
http://www.tagoras.es/index.htm 

Hasta la próxima entrada