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domingo, 24 de marzo de 2013

El Problema o Paradoja del Cumpleaños

Es uno de los problemas famosos de probabilidad.
Se suele poner porque, igual que ocurre con muchos problemas de probabilidad, la solución correcta choca a la intuición. Por ese motivo se llama a veces paradoja del cumpleaños.
Recomiendo este vídeo de Punset para situarse en este problema en concreto y en el tema de la probabillidad en general:http://www.rtve.es/television/20120509/redes-descifrar-probabilidades-vida/523619.shtml


El enunciado es más o menos así:
En un grupo de n personas escogidas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas tengan el mismo día de cumpleaños?

La respuesta está en la red
¿Me ha quedado bonito?
Bueno, lo que ocurre es que hay una serie de páginas interesantes donde se explica perfectamente la solución. Casi todas dicen lo mismo, pero las pequeñas diferencias y añadidos de unos y otros hace que sea interesante ( en mi opinión) leerlas todas.
El problema es que muchos sitios de internet pueden decaer por diferentes motivos, y entonces la dirección que pienso incluir no vale para nada.
Para paliar esto, voy a copiar lo que pone en una de las páginas, concretamente, la de Gaussianos:

Probablemente muchos de vosotros conoceréis la llamada paradoja del cumpleaños, pero para quienes no la conozcan la voy a explicar:

Introducción: enunciado de la paradoja

Imaginad que en un cierto momento estáis con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en un bar, cualquier grupo aleatorio de personas valdría. Digamos que hay 25 personas. Os planteo la siguiente cuestión: ¿cuál creéis que es la probabilidad de que en ese grupo de personas haya dos personas que cumplen los años el mismo día del mismo mes?? Quien no conozca este asunto probablemente responda algo como: No sé, pero seguro que muy pequeña. Al menos esa es básicamente la respuesta que yo me he encontrado siempre que he comentado el tema.
Pues la cosa es que ni mucho menos es pequeña. Vamos con lo que podríamos considerar el enunciado de la paradoja:
En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0,507, es decir, hay un 50,7% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.
Para las 25 personas de mi ejemplo la probabilidad es aproximadamente de 0,57, es decir, casi el 57%.
Básicamente lo que nos dice este resultado es que en una reunión de 23 o más personas es más sorprendente que no haya dos que coincidan en cumpleaños que el hecho de que sí las haya, algo que todo el mundo tiende a no creer en un primer momento.

Demostración matemática

El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (además fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición.
Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas n \le 365 (ya que si hay más de 365 la probabilidad es 1) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos p. Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación 1-p. Calculemos p(tomaremos el año con 365 días):
Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es \frac{364}{365} (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es \frac{363}{365}(por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es \frac{362}{365}, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para n personas nos queda la siguiente expresión:
p=\cfrac{364}{365} \cdot \cfrac{363}{365} \cdot \cfrac{362}{365} \cdot \ldots \cdot \cfrac{365-n+1}{365}
Usando factoriales podemos excribir esa expresión así:
p=\cfrac{365!}{365^n \cdot (365-n)!}
Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será 1-p. Es decir, la probabilidad de que en una reunión de n personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:
1-\cfrac{365!}{365^n \cdot (365-n)!}
Con n=22 obtenemos una probabilidad de 0.475695. Con n=23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507297. Con n=25, el del ejemplo del principio, estamos ya en 0.5687.
Y no os digo nada si aumentamos un poco más el número de personas del grupo. Os dejo unos cuantos resultados:
Para n=30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%.
Para n=35, la probabilidad es de 0.814383, poco más del 81%.
Para n=40, la probabilidad es de 0.891232, casi del 90%.
Para n=45, la probabilidad es de 0.940976, cerca del 95%.
Para n=50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%.
Para n=60, la probabilidad es de 0.994123, ¡¡más del 99%!!.
La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, haya otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.

Comprobación

Probablemente muchos de vosotros sigáis pensando algo así como eso es imposible, no puede ser tan alto. Si es así os invito a que realicéis vosotros mismos una comprobación experimental, es decir, que en un cierto momento en el que dispongáis de un grupo (lo más aleatorio posible) de unas 25/30 personas comencéis a preguntar fechas de cumpleaños. Eso mismo hice yo hace unos días en un bar donde mi Nadym y yo solemos ir mucho. En ese momento habría 30 personas en el bar. No sé ni por qué surgió el tema, pero al ver un grupo idóneo en número y aleatoriedad me puse a preguntar fechas de cumpleaños. La coincidencia se produjo al preguntar a la persona número 28. En ese momento, según la fórmula anterior, una probabilidad de 0.654461 de que así fuera, es decir, más del 65%. Por tanto no es tan raro, aunque casi todo el mundo que preguntó de qué iba el tema puso cara de sorpresa (excepto otro matemático que conocí en ese mismo momento, cosa curiosa).
Para terminar, una curiosidad de ese mismo día: hemos comentado antes que la probabilidad de que partiendo de una persona fija encontremos a otra que coincida exactamente con esa persona en fecha de cumpleaños es muy baja. Concretamente, para n personas la probabilidad se calcula así:
1-\left ( \cfrac{364}{365} \right ) ^{n-1}
Teniendo en cuenta que yo era quien comenzó el experimento, es razonable pensar que yo era en ese caso una persona destacada entre las demás. Es decir, que si podemos pensar en una persona fija en un experimento que estoy realizando yo sería normal pensar en mí mismo. Pues lo curioso fue que la coincidencia fue conmigo. Es decir, que la primera pareja de cumpleaños el mismo día que encontré fue la formada por una chica y yo. Encontrar una pareja no es nada sorprendente con 28 personas. Que la primera coincidencia se produjera conmigo sí que fue curioso por lo poco probable, exactamente 0.0713971, es decir, un 7%. Final curioso para un interesante experimento.

Hasta aquí el texto copiado.
Ahora van las direcciones, incluida la de Gaussianos donde puedes encontrar el texto que acabas de leer.
Y aquí van páginas donde se puede encontrar explicación:
Para ir terminando transcribo una respuesta que dí en cierta ocasión sobre este mismo tema, y de camino hago propaganda de un buen libro de divulgación matemática, "el hombre anumérico" de John Allen Paulos.

Parece ser que algunos enlaces que aparecen en la página http://ebooksgratisnovedades.blogspot.com.es/2011/11/el-hombre-anumerico-john-allen-paulos.html  aún funcionan y permiten disponer de dicho libro, pero sólo para leerlo, sin compartirlo, de manera que cuando se lea el archivo ya no debe compartirse. A mí me funcionó el enlace en doc.
Al poder leer el libro pude contestar la pregunta:
¿Cual es la probabilidad de que entre 23 personas   dos  de ellas no cumplan los años el mismo dia?
Mi respuesta fué la siguiente:
Este problema que planteas es un problema clásico de probabilidad.
Se resuelve mediante la regla de Laplace:  Casos favorables divididos entre casos posibles.
Para calcular tanto los casos favorables como los casos posibles, hay que recurrir a la combinatoria.
Lo único que se puede hacer es presentar el argumento de una forma sencilla.
Yo lo he encontrado expuesto de manera sencilla en un libro muy bueno, que se llama "El hombre anumérico" escrito por John Allen Paulos.
Dice así:
".....Exactamente la mitad de las veces que se reúnen 23 personas elegidas al azar, dos o más de ellas han nacido el mismo día.
      Para aquellos lectores que no se acaban de creer el resultado, he aquí una breve deducción. Según la regla del producto, cinco fechas distintas se pueden elegir de 365x365x365x365x365 maneras diferentes (si se permiten las repeticiones). De estos  casos, en sólo 365x364x463x362x361 casos ocurre que no dos hay fechas repetidas; se puede escoger en primer lugar cualquiera de los 365 días, cualquiera de los 364 restantes en segundo, y así sucesivamente. Así  pues, dividiendo este último producto entre  tendremos la probabilidad de que 5 personas escogidas al azar no celebren su cumpleaños el mismo día . Un cálculo análogo tomando 23 en vez de 5 da 1/2. 
Hasta aquí el libro de Paulos
Te recomiendo que, calculadora en mano, compruebes todos los cálculos.
A mí me gusta mucho la calculadora on line gratuita WolframAlpha, en la cual puedes hallar el astronómico producto 365x364x....x(365-21)x(365-22) tecleando product of (365-n) for n=0 to 22 y dividirlo por el todavía más astronómico  que se teclea 365^23 .
Espero que esto te sirva.
Te animo también a buscar en google tecleando "probabilidad cumpleaños"

Y de esta manera terminaba la respuesta. Por cierto, pregunta y respuesta se encuentran en una de las direcciones que antes escribí

Un último asunto antes de terminar:  Puede que algunos o algunas de mis potenciales, deseados, imaginados lectores o lectoras no haya entendido nada porque no tenga ninguna formación previa sobre probabilidad.
En este enlace encotrarás esos conceptos básicos. También los encontrarás en estos vídeos, de los cuales te dejo el primero. Los demás van apareciendo en la misma página dónde se reproduce el primero. 

 Otros enlaces donde encontrar información son:

 http://www.ugr.es/~bioestad/_private/Tema_2.pdf

http://tratamientodedatos.wordpress.com/2011/04/01/conceptos-basico-de-probabilidad/

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/index.htm

http://www.estadisticaparatodos.es/curriculo/probabilidad.html

http://matesconmarisa.blogspot.com.es/2012/12/probabilidad-con-descartes.html

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Giuliano/TP%20FINAL%20MD%20giuliano/PROBABILIDAD/probabilidad/web/index.html


El tema se ha tratado en el foro de matematicas http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=92975.0

Hasta aquí las direcciones.

Así se acaba esta entrada, donde he informado de un tema interesante,creo,aunque con poca elaboración personal, de momento.
Ya sabes, estimado e imaginado (quizás imaginario) lector o lectora que es norma de este blog actualizar de cuando en cuando las entradas, sobre todo añadiendo material.
Hasta la próxima entrada.








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