Parafernalias Matemáticas: Problema de Basilea

El Problema de Basilea es un famoso problema de teoría de números, planteado por primera vez por Pietro Mengoli, y resuelto por Leonhard Euler en 1735. Puesto que el problema había resistido los ataques de los matemáticos más importantes de la época, la solución llevó a Euler rápidamente a la fama cuando tenía veintiocho años.

Euler generalizó el problema considerablemente, y sus ideas fueron tomadas años después por Bernhard Riemann en su artículo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantidad de números primos menores que una magnitud dada), en donde definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. El problema debe su nombre a la ciudad de residencia de Euler (Basilea), ciudad donde vivía también la familia Bernoulli, que trató el problema sin éxito.

El problema de Basilea consiste en encontrar la suma exacta de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos, esto es, la suma exacta de la serie infinita:

\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}

Puedes seguir leyendo este artículo (que es de la Wikipedia) en el siguiente enlace
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Basilea

Una vez que hayas leído este artículo, te recomiendo la versión inglesa, más completa, y cuyos links funcionan mejor
http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
Uno de esos enlaces es un pdf que contiene 14 demostaciones de la fórmula

\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}

recopiladas por Robert Chapman http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf
Otro enlace

Son recomendables los libros siguientes(pondré varias recomendaciones, dando enlaces a los propios libros cuando sea posible o a comentarios y páginas para su compra)

Euler: maestro de todos los matemáticos
http://jarban02.blogspot.com.es/2012/10/euler-el-maestro-de-todos-los.html

El libro de las demostraciones
Comentario amplio sobre el libro

Contribución de Euler a la teoria de números
Libro - conferencia sobre Euler
Otro libro sobre Euler

Algunos enlaces a archivos sobre el problema de Basilea o temas relacionados