En esta entrada usamos la función característica para probar determinadas igualdades entre conjuntos, llegando al final a probar la asociatividad de la diferencia simétrica
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Empezamos.
Ahora definimos la diferencia simétrica $ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) $
Vamos a probar que $ 1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B - 2 \cdot 1_A \cdot 1_B $
Demostración:
Es fácil, pero larga. Se trata de desarrollar hasta llegar a la fórmula
propuesta, aplicando las propiedades anteriores
$ 1_{A \Delta B} = 1_{(A - B) \cup (B - A ) }
= 1_{A - B} + 1_{B - A } - 1_{A - B} \cdot 1_{B -A} = $
$ 1_A \cdot (1 - 1_B) + 1_B \cdot (1 - 1_A) - 1_A \cdot (1 - 1_B) \cdot 1_B \cdot (1 - 1_A) $
$ = 1_A - 1_A \cdot 1_B + 1_B - 1_B \cdot 1_A - [1_A - 1_A \cdot 1_B ] \cdot [1_B - 1_B \cdot 1_A ] $
La
icadena de igualdades continúa ,pero, para simplificar la notación, a
partir de ahora en lugar de $ M \cdot N $ escribiremos sencillamente $ M
N $ . Así pues la cadena de igualdades sigue de la siguiente manera:
$$ 1_A + 1_B - 2 \cdot { 1_A} 1_B - 1_A 1_B + 1_A 1_B 1_A - 1_A 1_B 1_B + 1_A 1_B 1_B 1_A $$
Ahora tenemos que tener en cuenta que $ 1_M \cdot 1_M = 1_M $ siendo M cualquier conjunto.
Por eso podemos seguir la cadena de desigualdades, teniendo en cuenta esto
$
= 1_A -1_A \cdot 1_B + 1_B -1_B \cdot 1_A -1_A \cdot 1_B + 1_A \cdot 1_B +
1_A \cdot 1_B - 1_A \cdot 1_B $ = $ 1_A + 1_B -2 \cdot 1_A \cdot 1_B
$ cqd
La verdad es que las pruebas anteriores hubieran sido más sencillas si hubiésemos usado el siguiente resultado:
Si A y B son disjuntos, es decir, $A\cap B = \emptyset $ , entonces $1_{A\cup B} = 1_A + 1_B $ .
Entonces como $A - B$ y $B - A $ son disjuntos, entonces es más fácil llegar a la fórmula para $1_{A\Delta B}$
Nos queda por abordar las demostradión de que la diferencia simétrica es asociativa, es decir,
$A\Delta (B\Delta C) = (A\Delta B)\Delta C $
Antes de empezar diremos que la prueba está en vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE
y por escrito:
http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/
https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE
Prueba elegante de la asociatividad de la diferencia simétrica
Ya hemos visto que $ 1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B - 2 \cdot 1_A \cdot 1_B $
Vamos a desarrollar la función característica de $ A\Delta (B\Delta C) $
Llamamos $ H = B \Delta C $ con lo cual $ A\Delta (B\Delta C) = A\Delta H $
Según lo que hemos probado
, $ 1_H = 1_B + 1_C - 2\cdot 1_B 1_C $ , y también $ 1_{A\Delta (B\Delta C)} $
Sigue la cadena de igualdades
$ = 1_{A\Delta H } = 1_A + 1_H - 2\cdot 1_A 1_H $
Ahora sustituimos una igualdad en otra y obtenemos
$ 1_A + 1_B + 1_C - 2\cdot 1_B 1_C -2\cdot 1_A (1_B + 1_C - 2\cdot 1_B 1_C)=
1_A + 1_B + 1_C - 2 (1_B 1_C + 1_A 1_B + 1_A 1_C ) +4\cdot 1_A 1_B 1_C $
Ahora desarrollamos $1_{(A\Delta B)\Delta C} $
Repetimos los pasos del caso anterior $ K = A\Delta B $ , y entonces
$1_K = 1_A + 1_B - 2\cdot 1_A 1_B $
Por otra parte
$1_{(A\Delta B)\Delta C} = 1_{ K\Delta C} $ , y $ 1_{(A\Delta B) \Delta C }= 1_{K\Delta C} =
1_K + 1_C -2\cdot 1_K 1_C$
Sustituimos una igualdad en otra para obtener:
$ 1_A + 1_B + 1_C - 2\cdot 1_A 1_B - 2\cdot (1_A + 1_B - 2 \cdot 1_A 1_B )\cdot 1_C =
1_A + 1_B + 1_C - 2 (1_A 1_B +1_A 1_C + 1_B 1_C) + 4\cdot 1_A 1_B 1_C $L
Llegamos a la misma expresión que antes y aplicando que $ 1_M = 1_H \Longleftrightarrow{M=H} $ , al se iguales $ 1_{A\Delta (B\Delta C )} = 1_{(A\Delta B)\Delta C} $ concluimos que
$ A\Delta (B\Delta C) = (A\Delta B)\Delta C $
Como ya hemos explicado antes, todo esto y algo más puede encontrarse en:
https://fernandorevilla.es/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/
Otra versión de la teoría de la diferencia simétrica, sin funciones características, es
https://steemit.com/spanish/@reinaseq/diferencia-simetrica-de-conjuntos
https://blog.nekomath.com/teoria-de-los-conjuntos-i-diferencia-simetrica/
CONTINUARÁ ___________________________________________ TO BE CONTINUED
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