Parafernalias Matemáticas: Algebra Abstracta

Colección de enlaces a cursos escritos y en vídeo

Álgebra Abstracta y Teoría de Galois

https://www.youtube.com/watch?v=N-5Av1KC11w&list=PLL0ATV5XYF8DTGAPKRPtYa4E8rOLcw88y

LIBRO DE ALGEBRA ABSTRACTA EN INGLÉS

Nada mejor para familiarizarse con el Álgebra Abstracta que trabajar algunos problemas
PROBLEMA Nº1 DE ESTA ENTRADA:

Sea dominio de integridad. Definimos , $a+b\sqrt[ ]{-5}\rightarrow{a^2+5b^2}$

$R_{-5}$ $f: R_{-5}\rightarrow{\mathbb{N}}$

a) Demuestra que

sii

, que

y que

es unidad si y sólo si $f(a)=\{1\}$

b) $2,3,1+\sqrt[ ]{-5},1-\sqrt[ ]{-5}$ son átomos

Después de pensarlo puedes leer pistas para la solución en este enlace al foro de matemáticas

ALGO DE TEORÍA

Antes de seguir con los problemas, un enlace que trata sobre los enteros Gaussianos
https://www.youtube.com/watch?v=aIz_GIN-dqw

Enlaces a cursos de álgebra abstracta

https://www.youtube.com/watch?v=aENEYDFQnfA&list=PLF379B0552AD17780

Otro curso de Álgeba Abstracta
https://www.youtube.com/watch?v=VdLhQs_y_E8&list=PLelIK3uylPMGzHBuR3hLMHrYfMqWWsmx5

Otro curso de Álgebra Abstracta
https://www.youtube.com/watch?v=N-5Av1KC11w&list=PLL0ATV5XYF8DTGAPKRPtYa4E8rOLcw88y

Y todavía un curso más sobre álgebra abstracta
https://www.youtube.com/watch?v=CMWFmjlB8v0&list=PLZzHxk_TPOStgPtqRZ6KzmkUQBQ8TSWVX

https://www.youtube.com/watch?v=IP7nW_hKB7I&list=PLi01XoE8jYoi3SgnnGorR_XOW3IcK-TP6

https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ

Un curso más de Álgebra Abstracta
https://www.youtube.com/playlist?list=PLmU0FIlJY-Mn3Pt-r5zQ_-Ar8mAnBZTf2

https://www.youtube.com/channel/UCErLELnXehsJ7ycW4OJgfQQ/playlists

Este curso de Álgebra Abstracta no está en video, sino que es una página html:

http://abstract.ups.edu/aata-es/index.html

PROBLEMA Nº 2 DE ESTA ENTRADA:

Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R tales que I+J=R. Demostrar que $IJ=I\cap{J}$ .

Cuando hayas pensado un rato en esto puedes consultar pistas en este enlace al foro de matemáticas

PROBLEMA Nº 3 DE ESTA ENTRADA

1. Sea  entero primo y  un entero coprimo con él. Si existen $x,y \in{\mathbb{Z}}$ tales que , demuestra que existen $a,b\in{\mathbb{Z}}$ tales que .

2. Sea  dominio euclídeo dotado con una función $d:R^*\rightarrow{\mathbb{N}}$ . Demuestra que si $\forall{x,y\in{R}}$ distintos de cero tales que  no divide a  y $d(x)\geq{d(y)}$ , existen $u,v\in{R_m}$ con $xu\neq{yv}$ tales que ,  es DIP.

Usa este enlace para obtener pistas para resolver el problema

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=64744.0

PROBLEMA Nº 4 DE ESTA ENTRADA

Pruebe que los ideales  y  son ideales primos en $\mathbb{Q}[x,y]$ pero únicamente el último ideal es un ideal maximal.

Busca pistas en el foro de matemáticas en el apartado de estructuras algebraicas.

PROBLEMA Nº 5 DE ESTA ENTRADA

1. Demuestra que en un anillo conmutativo finito sus elementos son invertibles o divisores de cero. Prueba que un dominio finito es cuerpo.

2. Sea $x^2+x+1\in{(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x]}$ .

a) Prueba que $R=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x])/(x^2+x+1)$ es cuerpo.
b) Encuentra $a \in{R}$ tal que todo elemento distinto de cero de  sea potencia de

Pistas para la solución en el foro de matemáticas

PROBLEMA Nº 6 DE ESTA ENTRADA
Sean a y b dos números reales tal que:
y    .   Calcular el valor de a+b

Pistas (después de quemarse las cejas pensando) en foro de matemáticas (rincón matemático)

Para estudiar la teoría del álgebra abstracta http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html#index

PROBLEMA Nº7 DE ESTA ENTRADA
Siendo n un número entero racional libre de cuadrados
1.- ¿Es siempre $Z[\sqrt{n}]$ dominio de integridad?
2.- ¿Es siempre $Q[\sqrt{n}]$ el cuerpo de fracciones de $Z[\sqrt{n}]$ ?
3.- ¿Existen dominios de integridad A tales que $Z[\sqrt{n}] \subset{A \subset{ Q[\sqrt{n}] }}$ ?

Después de pensarlo un montón, busca pistas en
http://rinconmatematico.com/foros /index.php?topic=59626.msg237884#msg237884

TEORÍA DE ÁLGEBRA ABSTRACTA PARA COMPRENDER Y PODER HACER LOS PROBLEMAS ANTERIORES Y OTROS

Teoría de anillos
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001024/docs_curso/contenido.html

Algunas demostraciones de temas de álgebra abstracta están en este blog:
https://foones.wordpress.com/

Curso de Álgebra Abstracta en vídeo (en inglés, con subt ítulos en inglés)
https://www.youtube.com/watch?v=VdLhQs_y_E8&list=PLelIK3uylPMGzHBuR3hLMHrYfMqWWsmx5