Consejos para resolver problemas

El tema de la resolución de problemas en matemáticas es muy interesante.
A continuación desarrollamos un poco el asunto.



NOTA PREVIA DE DISCULPA
Pido disculpas porque debido a un "fallo técnico" la entrada se ha vuelto parcialmente ininteligible, Es que estaba activada la función "traducir del inglés" y el programa ha considerado que el texto era inglés en vez de español y lo ha "traducido" al español otra vez, dejando una entrada que era comprensible en algo que en algunas secciones no se comprende. Voy a ir resolviendo esto poco a poco cuando tenga tiempo, cambiando el texto por lo que recuerdo que quise decir en el original, pero no sé volver "automáticamente" al punto de partida, que sería lo deseable. Si alguien lo sabe, por favor que escriba un comentario indicándome cómo hacerlo
FIN DE LA NOTA PREVIA

Para empezar, un documento sobre resolución de problemas
http://servicios.educarm.es/templates/portal/ficheros/websDinamicas/124/esomate8.pdf


El documento que sigue contiene teoría sobre resolución de problemas y enunciados para practicar
http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/05edumat/inicquehacermat/cap3ver.pdf

Otro documento sobre resolución de problemas
http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wp-descargas/educacionprimaria/didactica_mat/04_resolucion_de_problemas.pdf

Un clásico en el mundo académico español de la enseñanza media sobre resolución de problemas
http://platea.pntic.mec.es/jescuder/BLOG-1/Resolucion%20de%20problemas%20matematicos.pdf

Más de lo mismo

Un vídeo sobre resolución de problemas  http://tuaulamatematica.blogspot.com.es/

Otros vídeos sobre resolución de problemas
https://www.youtube.com/watch?v=czGkaTDaoUo
https://www.youtube.com/watch?v=7bADHSgueLY
https://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF

 COMPRENDER TEXTOS MATEMÁTICOS
http://leer.es/documents/235507/242734/ep2_ep3_mat_comprendermatematicas_nuriadomenech.pdf/dea1b890-9fea-4ea5-b754-ef96d7632879

 Ahora copio y pego un documento sobre resolución de problemas (sacado de internet)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/1

MODELOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

POLYA

1: Comprender el enunciado.

2: Confección de un plan.

3: Ejecución del plan.

4: Examinar solución/ visión retrospectiva.

MASON-BURTON-STACEY

1: Abordaje.

2: Ataque.

3: Revisión o reflexión.

GUZMAN

1: Familiarización con el problema.

2: Búsqueda de estrategias.

3: Llevar adelante la estrategia.

4: Revisar el proceso y sacar consecuencias.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/2

Lo que importa es el camino:

“el proceso es el que realmente nos ayuda a potenciar nuestra forma de pensar.”

Modelo de Miguel de Guzman

1. FAMILIARIZACIÓN

· Comprender el enunciado.

· Idea clara de los datos que intervienen, las relaciones entre ellos y lo que se pide.

· Ser capaces de contar el problema con nuestras palabras (película del problema)

2. ESTRATEGIAS

· Encontrar formas de abordar el problema.

· Estrategias generales: empezar por algún caso fácil; experimentar y buscar regularidades; hacer figuras, esquemas y diagramas; escoger un lenguaje o notación adecuados; buscar semejanzas; empezar por el final; suponer que no es posible; técnicas específicas (matemáticas); ...

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/3

3. LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA

· Seleccionar la estrategia que parece más viable.

· Llevar adelante la estrategia con decisión, confianza, orden, tesón y sosiego.

· Asegurarse de haber llegado a la solución, no quedarse a medias.

· Apuntar ideas nuevas que puedan surgir sin que te desvíen del camino trazado.

· Revisar la idoneidad de la estrategia elegida si no prospera.

4. REVISIÓN Y CONSECUENCIAS

· En este paso es importante tener un buen protocolo del problema: tener escritos los datos, las ideas, los pasos, las conclusiones, los problemas, ...

· Revisión: ¿era adecuada la estrategia, se ha seguido correctamente, la solución está de acuerdo con el problema?.

· Consecuencias: ¿hay otras formas de resolver, permite generalizar conclusiones, interesan variaciones del problema?.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/4

Pautas en la resolución de un problema con ecuaciones

1.- Familiarizarse con el problema

leer hasta comprender el problema

identificar los datos conocidos y los que se buscan: variables

identificar las relaciones entre los datos: condiciones

elaborar un esquema

2.- Establecer y ejecutar un plan: plantear y 

resolver

estudiar y decidir el modelo: número de variables y ecuaciones

elegir variables simples, comunes a todas las relaciones y que permitan contestar a la pregunta. Definirlas con precisión

traducir las relaciones en ecuaciones

resolver la ecuación o sistema

3.- Revisar el proceso y sacar consecuencias

generar soluciones del problema

comprobar la adecuación de las soluciones al enunciado: que cumplen las condiciones y que responden a la pregunta realizada

concretar la solución(es) del problema

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/5

Ejemplo 1.

Halla dos números cuya suma sea 59 y la diferencia 15.

1. Análisis:

Dos números

¹⁾ Suma es 59

²⁾ Diferencia es 15

¿números?

2. Planteamiento:

Dos relaciones con dos incógnitas (los números)

X=número menor; Y=número mayor

¹⁾ X+Y=59

²⁾ Y-X=15

Por reducción (1ª+2ª): 2y=74y=37

(1ª): x=59-y=59-37=22

x=22, y=37

3. Solución:

x=22, y=37 : números 22 y 37

comprobación: ¹⁾ 22+37=59

²⁾ 37-22=15

Solución: Los números son 22 y 37.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/6

Ejemplo 2.

Lola y Mohamed salen de un mismo punto: Lola en dirección

 sur y Mohamed en dirección este. Lola camina a 3 km/h y

 Mohamed a 4 km/h. ¿Qué tiempo deberá transcurrir para 

que haya 7’5 km de distancia entre ambos?.

P D_M

D_L D_LM

Velocidad de Lola: 3 km/h

Vel. de Mohamed: 4 km/h

Distancia Lola/Mohamed: 7’5 km

¿tiempo transcurrido?

Variables implícitas: Distancia recorrida por Lola (D_L)

Dist. recorrida por Mohamed (D_M)

Relaciones implícitas: ¹⁾ distancia=velocidad·tiempo

²⁾ D_LM²=D_L²+D_M²

Variable básica: t=tiempo transcurrido (horas)

Variables secundarias: D_L=3·t; D_M=4·t ⁽¹⁾

Ecuación: 7’5²=(3t)²+(4t)^{2 (2)}

56’25=9t²+16t²56’25=25t²t²=2’25t=1’5

t=-1’5: no tiene sentido el valor negativo del tiempo

t=1’5: Una hora y media

Distancia de Lola: 3·1’5=4’5

Distancia de Moh.: 4·1’5=6 4’5²+6²=7’5² (=56’25)

Solución: Debe transcurrir una hora y media.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/7

Ejemplo 3.

Pepe y Olga hacen un trabajo en tres horas. Si Pepe lo 

hiciera solo, tardaría cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardaría

Olga en hacerlo sola?.

Un mismo trabajo a realizar

Tiempo que tardarían juntos: 3h

¿tiempo que tardaría Olga?

Variables que intervienen:

el trabajo es fijo; varía el tiempo que tardan; y varía el ritmo de trabajo.

Relaciones:

⁽¹⁾ ritmo=trabajo/tiempo

⁽²⁾ Al trabajar juntos se suman los ritmos de trabajo

[ej.: 20 folios cada hora uno y 30 folios cada hora

 otro hacen 50 folios cada hora entre los dos]

t=tiempo que tardaría Olga (horas)

⁽¹⁾ Ritmo de Pepe:1/4; Ritmo juntos:1/3; Ritmo de Olga:1/t

Ecuación: ⁽²⁾ 1/3=1/4+1/t  1/t=1/3-1/4=1/12  t=12

t=12: tiempo que tardaría Olga es 12 horas

juntos: 1trab./4h + 1trab./12h = 4trab./12h = 1trab./3h

[En 12 horas: Olga 1trab. + Pepe 3trab. = 4trab. juntos1trab. en 3h]

Solución: Olga tardaría 12 horas.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS/8

Esquemas alternativos para ejemplos 

2  y 3.                                                    

Ejemplo 2.

	Velocidad (km/h)	Tiempo (h)	Distancia (km)
Lola	3	t	3·t
Mohamed	4	t	4·t

(3t)²+(4t)²=7’5²

Ejemplo 3.

Ritmo=Trabajo/Tiempo	Trabajo	Tiempo (h)	Ritmo (1/h)
Olga	1	t	1/t
Pepe	1	4	1/4
Juntos	1	3	1/3

Constante

Se suma el ritmo de trabajo

1/t+1/4=1/3

Como la entrada se ha fastidiado, pongo dos enlaces que pueden servir

Consejos para resolver problemas en primaria

Consejos para resolver problemas en secundaria
(De esta última página estaba sacada la entrada cuando todavía era legible)
La mejor manera de aprender a resolver problemas ellos es resolver, o al menos intentarlo.
La dirección a la que me refiero es http://www.ugr.es/~fjperez/resolver_problemas.html
y me permito cortar y copiar el inicio de ese trabajo para estimular a los lectores a que enlacen con dicha página (el autor figura en la misma)

Algunos consejos para resolver problemas

Hirió mi mente un relámpago,  que colmó mi deseo.

DANTE: Paradiso, Canto XXXIII

Por favor, dame un problema
Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.
Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.
¿Qué es un problema?
El verdadero problema es que hace ya mucho tiempo que en las enseñanzas medias se olvidaron de los problemas. No me preguntes por qué. Yo no soy ningún experto en el tema, pero mi impresión es que en algunas de las teorías pedagógicas de moda (las que hablan de enseñanza lúdica o de aprender a aprender y otras bobadas por el estilo) subyace una enorme desconfianza en la capacidad de los jóvenes para aprender. Por ello, no es extraño que en la Reforma de las enseñanzas medias los ejercicios más o menos triviales hayan acabado por sustituir a los bonitos problemas de antes, aquellos que proponían los profesores antes de que los teóricos de todas las reformas les convencieran de que sus alumnos eran demasiado torpes. Por eso, es muy posible que hayas llegado a la universidad sin haberte enfrentado nunca con un problema de verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.
EJERCICIOS

• De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
• Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
• El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
• Proponen tareas perfectamente definidas.

PROBLEMAS

• Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.  
• Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
• El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
• En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.

ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR
Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.
La actitud inicial es importante

Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?
Ten confianza en tus capacidades

Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.
Sé paciente y constante

No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.
Concéntrate en lo que haces

Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.
Busca el éxito a largo plazo  

Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.

 

ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
No existen reglas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, sí se pueden señalar algunos pasos generales para el proceso de resolverlos. Los que siguen están sacados del libro How To Solve It de George Polya y de los libros Aventuras Matemáticas y Para pensar mejor de Miguel de Guzmán cuya lectura te recomiendo vivamente.
A Comprende el problema

Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningún dato interesante. Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones... Esto es imprescindible para afrontar el problema con garantías de éxito.
B Elabora un plan de actuación

Cuando ya estás seguro de haber entendido bien el problema y crees tener toda la información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Al final te indico algunas de las más frecuentes.
C Lleva adelante tu plan

Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabájala con decisión y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas nada a la solución, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al primer intento.
¿Salió? ¿Seguro? Revisa el resultado y cerciórate bien de que has llegado a la solución. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco.
D Mira atrás y reflexiona sobre todo el proceso

¿Has resuelto el problema? ¡Enhorabuena! ¿Has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentándolo con ganas, y has acabado por no resolverlo? ¡Enhorabuena también! Se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés y tesón... y no resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el proceso. Esta etapa puede ser la más provechosa de todas... y la que más a menudo olvidamos realizar.

• Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O, por qué no has llegado a la solución? ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Habías intuido la estrategia correcta en el paso B? ¿O, por qué no se te ocurrió pensar en ella? ¿Qué es lo que te engañó al escoger estrategias? ¿Cuál fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien? 
• Revisa la solución desde un principio tratando de comprender bien no sólo que funciona sino por qué funciona. Mira a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple. 
• Familiarízate con el método de solución, a fin de utilizarlo en problemas futuros. Descartes dijo una vez: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que más adelante me sirvió para solucionar otros problemas." 
• Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con experiencias repetidas como ésta tal vez te puedas hacer un diagnóstico de tu propio estilo de conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. ¿Cómo es tu pensamiento? ¿Visual o analítico? ¿Dependes mucho de la expresión verbal o de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos, obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrías fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues, tendrás una gran ventaja al saber en qué clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en cuáles tu prolase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo. E Redactar el proceso de resolución
  
  Esfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.
  
  ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
  Buscar semejanzas con otros problemas
• • uscar semejanzas con otros problemas
    
    Nada hay nuevo bajo el sol. ¿A qué te recuerda la situación? ¿No intuyes que tal vez sea como aquella otra?
    
    
  • Reducir lo complicado a lo simple
    
    Normalmente el camino correcto para la resolución de un problema complicado es la división de este en otros más sencillos.
  • Considerar casos particulares
    
    En algunas ocasiones, experimentar con casos particulares te pone en la pista correcta para resolver el caso general.
  • Hacer un dibujo
    
    A veces, una imagen vale más que mil palabras. En el dibujo o esquema que hagas debes incorporar los datos realmente importantes y prescindir de lo demás. No necesitas hacer un dibujo muy preciso. El objetivo es que sirva de apoyo para avanzar en la resolución.
    
     
  • Estudiar todos los casos posibles
    
    Se trata de ver todas y cada una de las posibilidades y analizar si se pueden aceptar o descartar y por qué.
  • Elegir una buena notación
    
    Eligiendo una buena notación, un problema se puede simplificar notablemente. El objetivo es relacionar los datos con las variables elegidas y tratar de hacer los cálculos de la mejor manera posible. A la hora de elegir una buena notación, debemos tener presente que ésta sea clara, concisa y sin ambigüedades. La notación mejor es la que expresa abreviadamente la función misma de los elementos que representa.
    
     
  • Incorporar algo adicional
    
    A veces, al incorporar un elemento nuevo, por ejemplo, una línea o una incógnita, se ponen de manifiesto relaciones que de otra forma pueden pasar desapercibidas.
  • Ensayo y error
    
    Es una estrategia muy utilizada en nuestra vida: obramos de una determinada manera, observamos qué pasa, decidimos otras alternativas, etc. Estamos procediendo por ensayo y error. En matemáticas se suele emplear en multitud de ocasiones.
  • Trabajar hacia atrás
    
    A veces es de gran ayuda i
  • imaginar que el problema está resuelto y trabajar paso a paso hacia atrás hasta llegar a la información conocida. Sólo entonces estarás en condiciones de recorrer en sentido contrario el camino y construir una solución.
  • Razonamiento indirecto
    
    Ocasionalmente será apropiado atacar el problema de manera indirecta.  Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. Para demostrar que P implica Q se puede suponer que P es verdadera y Q es falsa, y tratar de ver por qué esto es imposible.
  • Aprovechar la simetría
    
    En algunos problemas existen, a veces encubiertas, ciertas regularidades o simetrías que pueden aprovecharse para resolverlos.
  • Usar técnicas generales
    
    Por ejemplo, para demostrar resultados que involucran un entero positivo n, es de utilidad valerse del Principio de Inducción matemática. Otras veces, puede ser útil el llamado principio del palomar que se expresa así: si tienes n objetos que repartir en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos objetos.
  • Usar programas de cálculo simbólico
    
    Si puedes hacerlo ¿por qué no? Programas como Mathematica, Maple o Derive pueden proporcionarte una gran ayuda en muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso.
  • imaginar que el problema está resuelto y trabajar paso a paso hacia atrás hasta llegar a la información conocida. Sólo entonces estarás en condiciones de recorrer en sentido contrario el camino y construir una solución.
  • Razonamiento indirecto
    
    Ocasionalmente será apropiado atacar el problema de manera indirecta.  Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. Para demostrar que P implica Q se puede suponer que P es verdadera y Q es falsa, y tratar de ver por qué esto es imposible.
  • Aprovechar la simetría
    
    En algunos problemas existen, a veces encubiertas, ciertas regularidades o simetrías que pueden aprovecharse para resolverlos.
  • Usar técnicas generales
    
    Por ejemplo, para demostrar resultados que involucran un entero positivo n, es de utilidad valerse del Principio de Inducción matemática. Otras veces, puede ser útil el llamado principio del palomar que se expresa así: si tienes n objetos que repartir en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos objetos.
  • Usar programas de cálculo simbólico
    
    Si puedes hacerlo ¿por qué no? Programas como Mathematica, Maple o Derive pueden proporcionarte una gran ayuda en muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso.
   

Hasta aquí el texto que hemos copiado de http://www.ugr.es/~fjperez/resolver_problemas.html y que espero consultes también en el original


PROBLEMAS PARA PRACTICAR

Muy elementales: http://www.aplicaciones.info/decimales/problemas.htm

Lista de problemas (sacados de varios sitios de internet)

1.- Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben el y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?.
-- Solución al acertijo --

2.- Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partio. ¿De que color es el oso?
-- Solución al acertijo --

3.- ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales?
-- Solución al acertijo --

4.- Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, que esta inicialmente apagada.
¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo?
Pista: El hombre tiene una linterna.
-- Solución al acertijo --

5.- En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color.
Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente.
Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregunta.
Por ultimo el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de que color es el sombrero que tenia puesto.
¿Cuál es este color y cual es la lógica que uso para saberlo?
-- Solución al acertijo --

0006) Robinson y Crusoe corren en un circuito circular, uno en el sentido de las agujas del reloj y el otro en sentido opuesto. Justo al mediodía vuelven a cruzarse en el punto de inicio: Robinson lleva hechas siete vueltas completas y Crusoe lleva hechas once vueltas completas. Cuantas veces se cruzaron?

0007) Un alfombrador manda a su ayudante a averiguar la superficie de un pasillo circular (la forma exacta creo que se llama sector circular, y es la diferencia de dos superficies circulares concéntricas) . El ayudante vuelve con una sola medida, 10 m, que corresponde a la longitud de un arco del circulo mayor tangente al circulo menor.

0008) Asamblea de socios de un club. El socio A propone a B como candidato para la presidencia. El socio B propone a A. Una de los requisitos naturales del presidente del club es representar los deseos y aspiraciones de los socios. Si A gana las elecciones (y es presidente) es que B era quien mejor representaba el deseo de los socios (los socios votaron a A, que era el candidato por B propuesto) . Si gana B, era A quien mejor representaba el deseo de los socios. En cualquier caso, el club tendrá un presidente que no sabe interpretar los deseos de los asociados.

0009) Si al nombre de un cierto instrumento musical le quito la primera letra obtengo el nombre de una mujer. ¿Cual es el instrumento y cual el nombre?

0010) Demostrar o refutar la siguiente conjetura: Todo numero entero positivo tiene algún múltiplo que contiene al propio numero, pero escrito al revés. Por ejemplo, la conjetura dice que el numero 2347 tiene algún múltiplo de la forma ....7432..... Debo decir que ignoro si la conjetura es o no cierta.

En este documento hay problemas

http://www.fuenterrebollo.com/Concursos/CDI/2015-sinfonia-infinito-enunciado.pdf 

Para terminar en el siguiente documento hay un montón de problemas y ejercicios

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/prob_int.htm 


Armando está viajando de San Francisco, CA a Chicago, IL cuya distancia total es de 1860 millas, si durante las primeras 3 horas recorrió 310 millas, ¿qué fracción de la distancia le queda aún por recorrer?

PASO 1. Se pide indicar en forma de FRACCION la distancia que no se ha recorrido.
PASO 2. Datos: millas (310 y 1860), horas (3), lugares (San Francisco y Chicago). ¿Cual información esta de mas o no necesitamos? Para resolver este problema solo necesitamos las millas.
PASO 3. Operación: división. Para saber cuánto representa 310 de 1860 millas dividimos 1860 ÷ 310 = 6. Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.
PASO 4. Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.Si se ha recorrido 1/6 de distancia lo que le falta por recorrer son 5/6 de distancia. ¿Tiene sentido la respuesta? Sí, porque me están pidiendo que represente una fracción, no me están pidiendo las millas que le faltan por recorrer, de ser así, solo se hace una resta.
EJEMPLO 2: Si el presupuesto de egresos por capítulos de gasto del Ayuntamiento Melchor Ocampo en el año 2012 es de  $6, 500,000.00  

¿Con cuales de las siguientes expresiones se puede obtener cuanto gasto el ayuntamiento Melchor Ocampo en los servicios generales? Pista: el presupuesto de egresos esta expresado en notación científica.

1. (65x10⁶) ÷ 8.26
2. (6.5x10⁶ x 8.26) ÷ 100 
3. (6.5x10⁶ x 100) ÷ 8.26 
4. 6.5x10⁶ x .0826 
5. (65x10⁶ x 8.26) ÷ 100

Explicación: Los conocimientos previos para resolver este problema son: notación científica, orden de operaciones, porcentaje con regla de tres y con decimal. En este caso no se está pidiendo una cantidad, sino el identificar el enunciado de operaciones que se pueden hacer para resolver el problema.
PASO 1: Las palabras claves para entender la pregunta son “cuáles y servicios generales”. Nos están pidiendo identificar más de una expresión para obtener lo que se gasto en los servicios generales.
PASO 2: Los datos que necesitamos son la cantidad total expresada en notación científica 6, 5000, 000 = 6.5x10⁶, el porcentaje gastado en servicios generales fue de 8.26%, el resto de la información no se necesita. (OJO, si se convertir la notación científica, automáticamente eliminamos la opción “a y e” ya que están expresadas incorrectamente).
PASO 3: El tipo de operación que necesitamos es división y multiplicación. En la regla de tres se debe multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener dividido entre 100. La otra operación seria multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener pero convertido a decimal (8.26% = .0826)
PASO 4: Las respuestas que cumple con estos requisitos son la “b” y “d”.

Matematicas: 

Aritmética

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EJEMPLOS 1:
Armando está viajando de San Francisco, CA a Chicago, IL cuya distancia total es de 1860 millas, si durante las primeras 3 horas recorrió 310 millas, ¿qué fracción de la distancia le queda aún por recorrer?
PASO 1. Se pide indicar en forma de FRACCION la distancia que no se ha recorrido.
PASO 2. Datos: millas (310 y 1860), horas (3), lugares (San Francisco y Chicago). ¿Cual información esta de mas o no necesitamos? Para resolver este problema solo necesitamos las millas.
PASO 3. Operación: división. Para saber cuánto representa 310 de 1860 millas dividimos 1860 ÷ 310 = 6. Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.
PASO 4. Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.Si se ha recorrido 1/6 de distancia lo que le falta por recorrer son 5/6 de distancia. ¿Tiene sentido la respuesta? Sí, porque me están pidiendo que represente una fracción, no me están pidiendo las millas que le faltan por recorrer, de ser así, solo se hace una resta.
EJEMPLO 2: Si el presupuesto de egresos por capítulos de gasto del Ayuntamiento Melchor Ocampo en el año 2012 es de  $6, 500,000.00  

¿Con cuales de las siguientes expresiones se puede obtener cuanto gasto el ayuntamiento Melchor Ocampo en los servicios generales? Pista: el presupuesto de egresos esta expresado en notación científica.

1. (65x10⁶) ÷ 8.26
2. (6.5x10⁶ x 8.26) ÷ 100 
3. (6.5x10⁶ x 100) ÷ 8.26 
4. 6.5x10⁶ x .0826 
5. (65x10⁶ x 8.26) ÷ 100

Explicación: Los conocimientos previos para resolver este problema son: notación científica, orden de operaciones, porcentaje con regla de tres y con decimal. En este caso no se está pidiendo una cantidad, sino el identificar el enunciado de operaciones que se pueden hacer para resolver el problema.
PASO 1: Las palabras claves para entender la pregunta son “cuáles y servicios generales”. Nos están pidiendo identificar más de una expresión para obtener lo que se gasto en los servicios generales.
PASO 2: Los datos que necesitamos son la cantidad total expresada en notación científica 6, 5000, 000 = 6.5x10⁶, el porcentaje gastado en servicios generales fue de 8.26%, el resto de la información no se necesita. (OJO, si se convertir la notación científica, automáticamente eliminamos la opción “a y e” ya que están expresadas incorrectamente).
PASO 3: El tipo de operación que necesitamos es división y multiplicación. En la regla de tres se debe multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener dividido entre 100. La otra operación seria multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener pero convertido a decimal (8.26% = .0826)
PASO 4: Las respuestas que cumple con estos requisitos son la “b” y “d”.

Matematicas: 

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- See more at: https://www.spanishged365.com/201/pasos-para-resolver-problemas-verbales-0#sthash.bltigCTU.dpufJEMPLOS 1:

Armando está viajando de San Francisco, CA a Chicago, IL cuya distancia total es de 1860 millas, si durante las primeras 3 horas recorrió 310 millas, ¿qué fracción de la distancia le queda aún por recorrer?
PASO 1. Se pide indicar en forma de FRACCION la distancia que no se ha recorrido.
PASO 2. Datos: millas (310 y 1860), horas (3), lugares (San Francisco y Chicago). ¿Cual información esta de mas o no necesitamos? Para resolver este problema solo necesitamos las millas.
PASO 3. Operación: división. Para saber cuánto representa 310 de 1860 millas dividimos 1860 ÷ 310 = 6. Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.
PASO 4. Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.Si se ha recorrido 1/6 de distancia lo que le falta por recorrer son 5/6 de distancia. ¿Tiene sentido la respuesta? Sí, porque me están pidiendo que represente una fracción, no me están pidiendo las millas que le faltan por recorrer, de ser así, solo se hace una resta.
EJEMPLO 2: Si el presupuesto de egresos por capítulos de gasto del Ayuntamiento Melchor Ocampo en el año 2012 es de  $6, 500,000.00  

¿Con cuales de las siguientes expresiones se puede obtener cuanto gasto el ayuntamiento Melchor Ocampo en los servicios generales? Pista: el presupuesto de egresos esta expresado en notación científica.

1. (65x10⁶) ÷ 8.26
2. (6.5x10⁶ x 8.26) ÷ 100 
3. (6.5x10⁶ x 100) ÷ 8.26 
4. 6.5x10⁶ x .0826 
5. (65x10⁶ x 8.26) ÷ 100

Explicación: Los conocimientos previos para resolver este problema son: notación científica, orden de operaciones, porcentaje con regla de tres y con decimal. En este caso no se está pidiendo una cantidad, sino el identificar el enunciado de operaciones que se pueden hacer para resolver el problema.
PASO 1: Las palabras claves para entender la pregunta son “cuáles y servicios generales”. Nos están pidiendo identificar más de una expresión para obtener lo que se gasto en los servicios generales.
PASO 2: Los datos que necesitamos son la cantidad total expresada en notación científica 6, 5000, 000 = 6.5x10⁶, el porcentaje gastado en servicios generales fue de 8.26%, el resto de la información no se necesita. (OJO, si se convertir la notación científica, automáticamente eliminamos la opción “a y e” ya que están expresadas incorrectamente).
PASO 3: El tipo de operación que necesitamos es división y multiplicación. En la regla de tres se debe multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener dividido entre 100. La otra operación seria multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener pero convertido a decimal (8.26% = .0826)
PASO 4: Las respuestas que cumple con estos requisitos son la “b” y “d”.

Matematicas: 

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Un vídeo mas
https://www.youtube.com/watch?v=nbDA4TY7ymc


Aquí hay más problemas y ejercicios
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http://www.galeon.com/tallerdematematicas/problemas.htm


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Muchos videos sobre resolucion de problemas
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