A continuación describo los pasos que daría yo para llegar a comprender la Teoría de Galois, en su aspecto más simple, el de demostrar el Teorema de Abel, y poco más
Antes de empezar, un curso en vídeo de teoría de grupos:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLYvLhcRhd8-ExjMaK-cyKRe-WQvc2DD-b
CURSO EN INGLÉS EN VIDEO SOBRE ÁLGEBRA ABSTRACTA Y TEORÍA DE GALOIS
Álgebra Abstracta y Teoría de Galois
https://www.youtube.com/watch?v=N-5Av1KC11w&list=PLL0ATV5XYF8DTGAPKRPtYa4E8rOLcw88y
En realidad esta entrada del blog es una manera de exponer y dar cuerpo a un entorno informacional específico sobre Teoría de Galois
I.- Introducción
El Teorema de Abel dice que la ecuación general de quinto grado o superior no es resoluble por radicales.Este puede ser un punto de patida.
Pero antes debemos conocer qué significa resolver por radicales una ecuación y también cómo se resuelven las ecuaciones de grados menores que cinco:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04700570/izurdiaga/spip.php?article58
http://www.famaf.unc.edu.ar/series/pdf/pdfCMat/CMat31-2.pdf
http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-4-algebra3.pdf
http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap20/Parte01_20.htm
http://www.miscelaneamatematica.org/Misc53/5304.pdf
Resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grados
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/%C3%81lgebra/Ecuaciones
http://www.miscelaneamatematica.org/Misc53/5301.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_grado
CONTINUARÁ (TOBE CONTINUED)
Enlaces sobre el teorema de Abel:
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Abel-Ruffini
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_quinto_grado
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_1/abel_y_la_quintica.pdf
http://gaussianos.com/por-que-no-hay-solucion-general-de-la-ecuacion-de-quinto-grado/
En esta entrada intentamos estudiar la resolubilidad por radicales de algunas ecuaciones concretas. Además limitada a cuerpos o campos numéricos. ¿Porqué esa limitación?
Antes de contestar a esa pregunta, podemos curiosear por varias páginas con explicaciones sobre la teoría de Galois
Una introducción "no técnica" pero muy clara a todo este lío
http://gaussianos.com/por-que-no-hay-solucion-general-de-la-ecuacion-de-quinto-grado/
BREVE EPXLICACION EN INGLES SOBRE LA TEOR.IA DE GALOIS
Introduccion para principiantes talentosos
http://www.lisazhang.ca/2011/12/galois-theory-in-1500-words.html
http://yaniv.leviathanonline.com/blog/articles/GaloisTheoryForDummies.pdf
http://fermatslastspreadsheet.com/2012/04/21/galois-theory-for-dummies/
http://www.web.pdx.edu/~slarsen/MyMathDeptSite/webpage/Math543SP12/543%20Galois%20Theory%20Introduction%20P1.pdf
OBRAS EN INGLÉS SOBRE LA TEORÍA DE GALOIS
http://www2.math.uu.se/~qimh/Galois.pdf
http://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf
http://hkumath.hku.hk/~ntw/EMB%28poly2008%29.pdf
http://homepages.warwick.ac.uk/~masda/MA3D5/Galois.pdf
Un libro de álgebra abstracta en inglés
https://youtu.be/S151ggosAvs
CONTINUA EL TEXTO ANTERIOR
La verdad es que existe consenso entre los matemáticos, docentes universitarios, en que es mucho mejor tratar la teoría de Galois en forma general, es decir, considerando campos abstractos o genéricos, e incluyendo en los razonamientos y resultados los campos finitos, que limitarse a considerar campos numéricos, todos subconjuntos de los números complejos.
El motivo que siempre se alega es que con muy poco esfuerzo más, se obtienen resultados mucho más generales.
Sin embargo, desde mi punto de vista se pierde intuición, que me parece importante en un primer contacto con estos temas.
Por eso el enfoque que me gusta consiste en ver la teoría para campos numéricos y luego generalizarla para campos cualesquiera.
Un libro que adopta este punto de vista es Foundations of Galois Theory de M. M. Postnikov que se puede encontrar en http://bookzz.org/book/985072/ccc226
En este otro libro http://www.usc.es/regaca/Galois.pdf también se adopta esta visión, pero a pesar de los propios autores, obligados a adaptarse a trabajar los contenidos sólo en un cuatrimestre (hay que omitir en la lectura determinados apartados).
II.- Esquema con los puntos a tratar para un desarrollo de los primeros pasos de la teoría de galois
- Establecer en qué consiste la resolución por radicales de una ecuación con coeficientes racionales.
- Resolver por radicales las ecuaciones de grado 1,2,3,4.
- Definir y dar ejemplos del concepto de campo numérico
- Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra
- Relación entre la resolución por radicales y las extensiones de cuerpos.
- Diferentes tipos de extensiones de cuerpos y las relaciones entre ellas.
- Polinomios mínimos, números algebraicos.
- Estructura de las extensiones algebraicas compuestas.
- Torres de extensiones.
- Teorema del elemento “generador”
- El campo de los números algebraicos.
- Información básica sobre grupos. (definición, propiedades primeras, subgrupos, divisores normales , grupos factores, homomorfismos entre grupos)
- Estudio especial de los grupos de permutaciones. En particular del grupo de las permutaciones de tres elementos, del de 4 y del de 5.
- Extensiones normales. El papel de las funciones simétricas en la teoría de Galois. Las extensiones normales son campos de descomposición de polinomios y viceversa.
- Automorfismos de un campo. Grupo de Galois
- Correspondencia de Galois.
- Información avanzada sobre grupos: generalizaciones de los teoremas de homomorfía, series normales, grupos cíclicos, grupos solubles, grupos abelianos.
- Extensiones radicales y extensiones cíclicas.
- Campos normales con grupos de Galois solubles. Ecuaciones resolubles por radicales.
- El grupo de Galois de una ecuación considerado como grupo de permutaciones.
- No solubilidad por radicales de la ecuación general de grado
- Hallar el grupo de Galois de ecuaciones concretas. Estudio de la solubilidad por radicales de ecuaciones concretas.
- Generalización a cuerpos arbitrarios
III.- Preguntas para evaluar si conoces la teoría de Galois
Las siguientes preguntas pueden servir para evaluar el grado de comprensión de la teoría de Galois o bien para estimular y guiar el aprendizaje de la misma
PREGUNTAS SOBRE TEORÍA DE GALOIS (CAMPOS DE CARACTERÍSTICA CERO)
Antes de poner varios enlaces sobre teoría de Galois, ponemos uno a un curso en vídeo sobre Teoría de Galois:
http://www.youtube.com/watch?v=R8p4Wmi2KWc
http://alexmoqui.wordpress.com/2012/05/23/un-curso-de-teoria-de-galois/
Enlaces sobre teoría de Galois
http://geekalt42.net/video-de-evariste-galois-y-su-teoria-de-grupos-4822
http://yaniv.leviathanonline.com/blog/articles/GaloisTheoryForDummies.pdf
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/to2009/algebraIIn0305/APalgII3.pdf
Vídeos sobre Galois
http://www.youtube.com/watch?v=0B_Q1Kuqkxc
http://www.youtube.com/results?search_query=Galois&page=1
http://www.youtube.com/results?search_query=Grupo+de+Galois&page=1
video sobre Galois
Para estudiar el álgebra abstracta en general y la Teoría de Galois en particular http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html#index
Lo mismo ocurre en este otro enlace
Documentos pdf sobre teoría de Galois (y sobre otros temas de álgebra)
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra/Chapter6.pdf
Traca final: enlace a una carpeta con un montón de archivos sobre Teoría de Galois y temas relacionados (y alguna que otra cosa que se ha colado)
https://drive.google.com/folderview?id=0BzfhQuA7D_e6TWR2RjRHb3MzUHc&usp=sharing
En este otro enlace tienes un montón de libros (la mayoría en inglés) sobre teoría de Galois
Me lo han proporcionado amablemente en la página de facebook https://www.facebook.com/groups/135721943283748/ (Por si el enlace no funciona, se llama Matemáticas y Física en pdf)
Entre los libros del enlace proporcionado por "Matemáticas y Física en pdf" vuelve apaerecer el de Postnikov mencionado antes y otro libro que trata de a teoría de Galois desde un punto de vista histórico y que se llama A CLASSICAL INTRODUCTION TO GALOIS THEORY, y que por ello comparte el punto de vista antes expresado de limitarse en un primer momento a campos numéricos
En este enlace puedes encontrar tres libros muy buenos sobre la Teoría de Galois (están en inglés)
Si el anterior enlace no funciona los tienes pinchando en la frase anterior.
En este enlace tienes acceso a una carpeta con documentos sobre la teoría de Galois
Bueno, si algunos libros o archivos se repiten en determinados enlaces es porque me gustan especialmente y repitiéndolos posibilito la descarga o visión on line desde diferentes sitios y así aumento las probabilidades de tenerlos disponibles por mucho tiempo.
Del mismo tipo anterior tienes los aiguientes enlaces:
Enlace 1
Enlace 2
Teoría de Grupos
Documento sobre Teoría de Galois
Aún otro Galois
Mas Galois
Otro Galois
V.- Preguntas que se hace la gente sobre la teoría de galois
a) Métodos para resolver ecuaciones de quinto grado
b) Resumen de diferentes métodos para resolver ecuaciones de grado menor o igual a cuatro
VI.- La teoría de Galois a principios del siglo XX
http://www.emis.de/proceedings/Chicho2001/Escribano-Espanol.pdf
VII.- Temas relacionados con la teoría de Galois
https://www.cs.nott.ac.uk/~rcb/G53PAL/FPandGC.pdf
http://www.math.toronto.edu/askold/N759.PDF
VIII.- Problemas resueltos de teoría de grupos
http://www.uv.es/~iranzo/Problemas_Galois.pdf
IX.- Introducción simultánea a la teoría de grupos y
a la teoría de Galois
http://matematicas-de-la-simetria.blogspot.com.es/
X.- Curso de Teoría de Galois de F. Chamizo
http://www.uam.es/otros/openmat/cursos/teogal/teogal.html#Material_de_clase
XI.- Teoría de las ecuaciones algebraicas (Ángel del Río Mateos)
http://www.um.es/adelrio/Docencia/Ecuaciones/EcuAlg.pdf
XII.- Curso sobre teoría de Galois en francés con subtítulos también en francés. (se trata de un curso de Coursera)
https://www.coursera.org/learn/theorie-de-galois/home/welcome
https://www.youtube.com/watch?v=aENEYDFQnfA&list=PLF379B0552AD17780
Otro curso de Álgeba Abstracta
https://www.youtube.com/watch?v=VdLhQs_y_E8&list=PLelIK3uylPMGzHBuR3hLMHrYfMqWWsmx5
Otro curso de Álgebra Abstracta
https://www.youtube.com/watch?v=N-5Av1KC11w&list=PLL0ATV5XYF8DTGAPKRPtYa4E8rOLcw88y
Y todavía un curso más sobre álgebra abstracta
https://www.youtube.com/watch?v=CMWFmjlB8v0&list=PLZzHxk_TPOStgPtqRZ6KzmkUQBQ8TSWVX
https://www.youtube.com/watch?v=IP7nW_hKB7I&list=PLi01XoE8jYoi3SgnnGorR_XOW3IcK-TP6
https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ
Un curso más de Álgebra Abstracta
https://www.youtube.com/playlist?list=PLmU0FIlJY-Mn3Pt-r5zQ_-Ar8mAnBZTf2
https://www.youtube.com/channel/UCErLELnXehsJ7ycW4OJgfQQ/playlists
Álgebra Abstracta y Teoría de Galois
https://www.youtube.com/watch?v=N-5Av1KC11w&list=PLL0ATV5XYF8DTGAPKRPtYa4E8rOLcw88yEste curso de Álgebra Abstracta no está en video, sino que es una página html: http://abstract.ups.edu/aata-es/index.html
CONTINUAREMOS PRONTO ESTA SECCIÓN Y LA ENTRADA EN GENERAL
TO BE CONTINUED
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