Un grupo G es abeliano si y sólo si
para cualesquiera dos elementos $$ a, b \in{G} $$ se
cumple $$ (ab)^2 = a^{2} b^2 $$
La demostración es muy sencilla:
Si G es abeliano, entonces aabb = abab, es decir aplicamos la conmutatividad y la asociatividad hace el resto
Si G cumple $$ (ab)^2 = a^{2} b^2 $$
entonces aplicando las propiedades cancelativas a izquierda y derecha tenemos abab =aabb y de ahí deducimos bab=abb y de ahí a su vez ba=ab
COMO QUERÍAMOS DEMOSTRAR
Es decir, colorín colorado, el asunto se ha acabado.
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