Parafernalias Matemáticas: Teoría de grupos

La teoría de grupos es una parte muy interesante de las matemáticas, y me gustaría cuando tenga tiempo, escribir sobre ella y sobre mis luchas por comprenderla.
Un blog donde se trata la teoría de grupos es http://matematicas-de-la-simetria.blogspot.com.es/

A mi me parece que este enlace lleva a una página demasiado avanzada: http://garhdez6.wordpress.com/category/teoria-de-grupos/

Para aprender en condiciones teoría de grupos recomiendo http://alexmoqui.wordpress.com/
y también https://alexmoqui.wordpress.com/2012/05/22/un-curso-de-teoria-de-grupos/
Para que no te lo pierdas, lo vuelvo a recomendar al final de esta entrada
A continuación, un poco de teoría y luego problemas propuestos con pistas

Antes de empezar, un curso en vídeo de teoría de grupos:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLYvLhcRhd8-ExjMaK-cyKRe-WQvc2DD-b

Y otro enlace a curso de teoría de grupos

https://www.youtube.com/watch?v=UwTQdOop-nU&list=PLwV-9DG53NDxU337smpTwm6sef4x-SCLv

por radicales de la ecuación a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+· · ·+a₁x+a₀ = 0. Sin

embargo, algunos de los resultados de la teoría de grupos habían aparecido

con anterioridad en trabajos de otros matemáticos, entre los que se encuentra

Cauchy.

Por lo anterior, es pertinente señalar que el término grupo

es acuñado y usado sistemáticamente por Galois en su trabajo: “Memoir

on the Conditions for Solvability of Equations by Radicals”.

Dado que el trabajo de Galois citado versa sobre las raíıces de polinomios, el

concepto de grupo usado por Galois se restringe a lo que hoy llamamos el

grupo de permutaciones de n elementos.

La formulación axiomática de la teoría de grupos como se conoce actualmente,

se inicia con el trabajo de H. Weber: “Die allgemeinen Grundlagen

der Galois’schen Gleichungstheorie”. Math. Ann. 43 (1893), 521-549, página

522.

Hoy en día, la teoíıa de grupos es una de las áreas de matemáticas que más

aplicaciones tiene.

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría. Además se aplican en astrofísica: quarks, solución de acertijos: cubo de Rubik, en los códigos binarios y en criptografía. Incluso en música.

El orden de un grupo es su cardinalidad; en base a él, los grupos pueden clasificarse en grupos de ordenfinito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX..

En la teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito $G$ con el orden de cualquiera de sus subgrupos. Más precisamente, afirma que si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo de $G$ , entonces

(1) $|G|=|H|[G:H],\,\!$

donde $|G|$ y $|H|$ son el orden del grupo $G$ y el orden del subgrupo $H$ , en tanto que $[G:H]$ es el índice de $H$ en $G$ .

El recíproco del teorema de Lagrange, en general, no se cumple, pues existen grupos de orden $m$ que pueden no tener un subgrupo de orden $n$ a pesar de que $n\mid m$ . Por ejemplo, el grupo simétrico $S_4$ tiene orden 24 y no tiene ningún subgrupo de orden 6. En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de Lagrange no aplica.

Por otra parte, el recíproco del teorema de Lagrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.

Por qué se utiliza la teoría de grupos en física de partículas elementales?

Simetría SU(4) de sabor (4 quarks). En el plano C=0 la simetría SU(3) de sabor (3 quarks) de la vía óctuple del Nobel Murray Gell-Mann.

¿Qué es una partícula elemental? Un “objeto” con “momento”, “energía”, “masa”, “espín”, y algunas ”cargas” localizado en el espaciotiempo (en un lugar del espacio en un momento dado).

Sea una partícula elemental “libre” (no sujeta a fuerzas externas). ¿Qué es el momento (lineal)? Si las propiedades de un “objeto” físico “aquí” son las mismas (invariantes) que “allí”, hay algo que se conserva, es el “momento”. ¿Qué es la energía (total)? Si las propiedades de un “objeto” físico “hoy” son las mismas (invariantes) que “mañana”, hay algo que se conserva, es la “energía”. ¿Qué es la masa? Para un “objeto” libre, la energía (total) es energía cinética (masa) que depende de su velocidad. Si el “objeto” puede estar en reposo, la energía cinética en dicho caso es la “masa” (en reposo). Si el “objeto” no puede estar en reposo, tiene “masa” nula. ¿Qué es el momento cinético (angular)? Si las propiedades de un “objeto” físico “sólido” son las mismas independientemente del ángulo con la que las veamos, hay algo que se conserva, es el momento cinético. Para una partícula elemental que es un “objeto” puntual, no sólido, la conservación del momento cinético es trivial. “Sorprendentemente,” la teoría de la relatividad de Einstein “obliga” a que toda partícula elemental tenga un “momento cinético interno” que se denomina “espín”. Lo descubrió “físicamente” Dirac para el electrón, pero en teoría de grupos era algo conocido hacía tiempo (las representaciones espinoriales de grupos).

En Física Matémática, toda magnitud “conservada” en un sistema físico es resultado de una simetría en su descripción matemática (teorema de Emmy Noether). En Matemáticas, las simetrías son descritas utilizando teoría de grupos (de transformaciones). Una simetría es lo que no cambia ante la acción de un grupo (de transformaciones). Si f(x,t) es la función que describe una partícula elemental localizada en el espaciotiempo en (x,t), ¿cómo podemos garantizar que describe un “objeto” con “momento”, “energía”, “masa”, y “espín”? Basta con que f corresponda a alguna representación del grupo de Poincaré (la invarianza ante traslaciones y rotaciones en el espacio tiempo). Es decir, f deberá ser una “función” (representación) escalar, pseudoescalar, vectorial, pseudovectorial, espinorial, tensorial, etc. No entraré en detallar qué es una representación de un grupo y en concreto representaciones de grupos de Lie (como el de Poincaré) que modelan simetrías continuas (cuyos parámetros son diferenciables y permiten utilizar el concepto de álgebra de Lie).

La asociación de partículas (libres) con representaciones del grupo de Poincaré dota de significado a conceptos abstractos como “momento”, “energía”, “masa” y “espín”. Una elección “adecuada” del espacio al que pertenece la función f que describe la partícula automáticamente garantiza valores ”medibles” para dichos conceptos.

Las partículas elementales se observan en la Naturaleza en clases (o tipos). Ciertas interacciones (colisiones, desintegraciones, etc.) se observan sólo entre ciertos tipos de partículas. “Abusemos” del lenguaje un poco. Hay partículas machos (fermiones) y hembras (bosones). A los machos les gusta “normalmente” interactuar con las hembras (las interacciones entre fermiones ”normalmente” están mediadas por bosones). Aunque a algunos machos les gusta interactuar con otros machos (hay fermiones que interactúan con fermiones en teorías como la de Fermi para la fuerza débil) y a algunas hembras les gusta interactuar con otras hembras (hay bosones no lineales que interactúan entre ellos como los gravitones). También hay “lucha” de clases. Hay machos de ciertas “clases” que prefieren interactuar con hembras “de su misma clase” y no con hembras de otras clases, y viceversa. Lo mismo pasa con las iteracciones hombre-hombre y hembra-hembra.

¿Qué propiedad caracteriza las “clases” de partículas elementales en función de sus interacciones? Las “cargas” (topológicas) asociadas a ciertas simetrías. Cargas como la eléctrica (QED), la de color (QCD), o cargas “efectivas” como el isoespín o la hipercarga (“extrañeza”). ¿Qué simetría es la responsable de la “conservación” de estas “cargas”? O mejor, ¿la invarianza respecto a qué simetría conduce a la aparición de estas cargas conservadas? Obviamente, se trata de una simetría “interna” (propia) de la partícula elemental. Algo que “no vemos” cuando “vemos” a la partícula en un lugar y un momento determinados del espaciotiempo. Sabemos que está ahí cuando observamos cómo interactúa la partícula con otras. El “trato” entre partículas nos muestra de qué clase son. La única partícula no clasista, que interactúa con todas las demás, es el gravitón (aún no observada) que es responsable de la fuerza de la gravedad. Las demás partículas son “clasistas”. La “lucha de clases” entre partículas nos indica que “poseen” simetrías internas.

La descripción matemática de las simetrías internas requiere la introducción de ciertos grupos (continuos o de Lie) “internos” que se aplican al espacio (de representación del grupo de Poincaré) al que pertenece la función matemática que describe a cada partícula. Grupos como U(1), responsable de la carga eléctrica (invarianza de fase), SU(2), responsable de la fuerza electrodébil a alta energía, SU(3), responsable de la carga de “color”, responsable de la fuerza fuerte entre quarks a alta energía, etc. ¿Por qué decimos que ciertos grupos sólo aparecen a alta energía? Porque las simetrías que “vemos” muy claras a alta energía, “no se ven” a baja energía, parece como si hubieran desaparecido “parcialmente”. Decimos que la simetría está rota. La simetría SU(2) de la fuerza electrodébil está rota a baja energía y observamos dos fuerzas muy distintas, el electromagnetismo y la fuerza débil. La simetría SU(3) de color de la fuerza fuerte está rota a baja energía donde es imposible observar los quarks (fermiones coloreados) que sufren dicha fuerza sino estados compuestos sin color (“blancos”) que aparentan ser partículas elementales (hadrones clasificados como bariones y mesones).

Hay simetrías “aproximadas” que podríamos calificar de “accidentales”, como la vía óctuple de Gell-Mann basada en SU(3) que explica las partículas (hadrones, es decir, bariones y mesones) “formadas” por 3 quarks (los menos masivos) denominados arriba, abajo y extraño. Introdujo el concepto de hiperarga (“extrañeza”) como magnitud que se conserva en una partícula si uno de sus constituyentes es un quark extraño. Para Gell-Mann, en esa época, los quarks eran meros “instrumentos” matemáticos que “expresaban” las simetrías internas de las partículas, se necesitó casi un década para obtener pruebas experimentales de su existencia (hoy en día, los físicos experimentales afirman “ver” quarks por doquier). El esquema SU(3) le permitió predecir una partícula con 3 quarks extraños que fue detectada experimentalmente. El descubrimiento del cuarto quark nos llevó a un modelo SU(4), como en la figura que inicia esta entrada. En la actualidad se conocen 6 quarks porque lo que la simetría “aproximada” de Gell-Mann “correcta” es SU(6), llamada SU(6) de sabor. Esta simetría es “buena” para los 3 quarks más ligeros, pero su poder predictivo es “pobre” en el caso general, debido a la gran diferencia de masas entre los quarks. Hay una diferencia de 5 órdenes de magnitud entre la masa del quark más ligero (up, arriba) y el más pesado (top, cima).

Descubrir una nueva simetría entre las partículas elementales significa que hay nuevas “cargas” (propiedades) asociadas a ellas que las hace “clasistas” y que ciertas interacciones entre partículas están prohibidas (reglas de selección) porque estas ”cargas” no se conservarían en dichas interacciones. Estas ”nuevas” simetrías estarán rotas, porque a baja energía no se las observa (creemos que conocemos muy bien lo que pasa a “baja” energía). Estas “nuevas” simetrías conducirán a resultados ”no esperados” a alta energía. Garrett Lisi y su “teoría “simple” para todo” introducen nuevas simetrías que deberán estar rotas a baja energía. En su trabajo no dice cómo se rompen (la ruptura puede ser espontánea, ocurrió en el Big Bang de forma “natural”, o dinámica, hay una cierta combinación de factores que llevó a que se produjera, por ejemplo, en el contexto del principio antrópico). Garrett elige un grupo de simetría interna para todas las partículas conocidas, E8, y las representa utilizando ciertas “representaciones de grupos” de ciertos subgrupos de E8 (que es muy rico en subgrupos). ¿Y contiene su teoría al Modelo Estándar? Lisi lo impone, seleccionando ad hoc (arbitrariamente) que así sea. Él elige (impone) que la teoría (lagrangiano) así sea. El grupo de Lie E8 puede ser muy bello pero su lagrangiano (“el del” modelo estándar) no lo es y además es muy “artificial”. Lo ideal sería una ruptura espontánea de la simetría de E8.

Estas notas están sacadas de
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/barrera-grupos.pdf
también de:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos
también de:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Lagrange_(teor%C3%ADa_de_grupos)
y de:

http://francisthemulenews.wordpress.com/2008/10/27/%C2%BFpor-que-se-utiliza-la-teoria-de-grupos-en-fisica-de-particulas-elementales/

Si embargo, la mejor manera de estudiar/repasar teoría de grupos es con los apuntes que aparecen en esta dirección, son unas notas muy buenas, claras y concisas: http://www.ugr.es/~mcarrasc/Apuntes/grupos10-11.pdf

Teoría de grupos y teoría de galois
http://matematicas-de-la-simetria.blogspot.com.es/

3) ALGUNOS PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
(Algunos problemas están resueltos y otros con acceso a "pistas" para solucionarlos)
Con la teoría refrescada o al menos leída, pasemos a los problemas.
Antes de proponer algunos problemas, puede ser interesante practicar con problemas de los que se conoce la solución.
Esto se encuentra en la dirección http://www.matematicasypoesia.com.es/Probvarios/ProbTeoGruPreg.htm
a la cual puedes acceder pinchando aquí

Enlaces a Visual Group Theory
http://groupexplorer.sourceforge.net./
http://www.slideshare.net/sarinnae/visual-group-theory-pdf

Ahora estamos listos para intentar resolver problemas

Como voy muy apurado de tiempo dejo aquí un enlace a un problema interesante de grupos.
¡A lo mejor hay hasta respuestas!

PROBLEMA Nº1 DE ESTA ENTRADA

El problema es el siguiente:

Sea el grupo de permutaciones S(4). Dar ejemplo de dos subgrupos de orden 4. Sean J y K tales subgrupos. Determinar el menor subgrupo que contiene a ambos. ¿Es el conjunto C={ab | a pertenece a J y b pertenece a K} ese subgrupo?

Bueno, cualquier pista,

sugerencia, enlace a algún

documento o página web interesante

relacionada con el tema será

bienvenida en los comentarios.

¡Gracias de antemano, futuros

numerosos lectores!

Aquí tienes una dirección en la que puede existir alguna pista o puede que no INFORMACIÓN SOBRE EL PROBLEMA

Éste son otros problemas de teoría de grupos:

PROBLEMA Nº 2 DE ESTA ENTRADA

Si G es un grupo y $\left | G \right |=p^n$ donde es un número primo, demostrar que existen subgrupos para , tales que $G=N_0\supset{N_1}\supset{N_2}...\supset{N_r}=(e)$ , donde es un subgrupo normal de $N_{i-1}$ y $\displaystyle\frac{N_{i-1}}{N_i}$ es abeliano.

PROBLEMA Nº3 DE ESTA ENTRADA
Si G es un grupo con $\left | G \right |=42$ demostrar que

su 7- subgrupo de Sylow es normal.

Aquí pongo otro problema, o más bien tarea de

teoría de grupos:

PROBLEMA Nº 4 DE ESTA ENTRADA

Considero el grupo diédrico

como subgrupo del grupo de permutaciones de 4 elementos

Sé que

es el subgrupo generado por dos elementos a y b tales que el orden de a sea 4, el orden de b es dos y además $ba = a^{-1} b$ .
Si tomo como a el 4 - ciclo

entonces:
1.-¿Qué permutación puedo tomar como b?
2.- ¿Cómo generalizar esto a n=5, n=6... ?
3.- ¿Procedimiento para hacer lo mismo con $D_{2n}$ y $S_{2n}$ ?

Como siempre, pensadlo un poco y si queréis más información sobre el problema, la encontráis en este enlace al foro de matemáticas

Bien, ya vamos acabando.

No me apetece pasar de largo sin comentar algo

sobre una demostración no muy larga, pero en la

que siempre me equivoco.

PROBLEMA Nº5 DE ESTA ENTRADA
Un grupo es un conjunto no vacío sobre el que se ha definido una ley de composición interna que es asociativa, posee elemento neutro y elemento inverso o simétrico de cada elemento del grupo. Esto te lo dicen, de una forma u otra, todos los textos que tratan de teoría de grupos.

Algunos textos, además te dicen que en realidad no es necesario suponer unicidad de neutro ni inverso y que solo hay que suponer existencia de neutro por la izquierda (derecha) y simétrico por la izquierda (derecha)
Se trata de demostrar esto, es decir que dada una ley de composición interna asociativa en la cual existe al menos un elemento e tal que para cualquier elemento eg=g y además para cualquier elemento g existe al menos un elemento h tal que hg =e, entonces se trata de un grupo.

Usualmente la prueba se despacha en tres o cuatro líneas, y aún cuando creo haberla entendido, me lleva siempre a confusión.

Encontré un texto dónde se hacía con más detenimiento, y copio ahora un resumen de los pasos que hay que dar, en la línea de los consejos que me dan en el CASO II de esta misma entrada.

PRIMER PASO: gg=g implica g=e
SEGUNDO PASO: Si hg = e entonces gh = e
TERCER PASO: El neutro por la izquierda también es neutro por la derecha
CUARTO PASO: El elemento neutro por la izquerda es único
QUINTO PASO : Simétrico es único
SEXTO PASO: Si existe un neutro por la derecha coincide con el neutro del grupo.
SÉPTIMO PASO Si existe simétrico derecha, coincide con simétrico

Ahora se trata de seguir este esquema para realizar la demostración.

Antes de acabar, expongo una demostración diferente de este mismo hecho, encontrada en Internet:

De todos es conocida la definición, digamos tradicional, que se da en los cursos de álgebra moderna o teoría de grupos de lo que es un grupo. La cuál se enuncia a continuación.

Sea $G$ un conjunto dotado de una operación binaria $\cdot : G \times G \longrightarrow G$ entonces se dice que el par $(G, \cdot)$ es un grupo si satisface lo siguiente:

i) La operación $\cdot$ es asociativa, esto es $\forall x,y,z \in G$ se tiene que

$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$

ii) Existe un elemento identidad, denotado por $e$ que cumple que

$\forall x \in G$ $e \cdot x = x \cdot e = x$

iii) Existencia de inversos

$(\forall x \in G) (\exists y \in G)$ tal que $x \cdot y = y \cdot x = e$

A tal elemento $y$ lo denotaremos por $x^{-1}$ .

Note el lector que en algunos libros de texto se pide una propiedad adicional, a las 3 enunciadas, la cual es la propiedad de cerradura, la cual, en nuestra definición, no es necesaria, pues tal propiedad se halla implícita por la operación binaria que se pide en el conjunto.

Ahora bien, algo que podemos notar es que tanto ii) como iii) de la definición son redundantes, pues basta sustituir ambas condiciones de la definición por las 2 siguientes:

ii’) Existe un elemento identidad, denotado por $e$ que cumple que

$\forall x \in G$ $e \cdot x = x$

iii’) Existencia de inversos

$(\forall x \in G) (\exists y \in G)$ tal que $y \cdot x = e$

Para tener la definición de grupo, es decir, ii’) y iii’) implican las condiciones ii) y iii) de la definición original, la demostración es como sigue:

Tenemos que $(\forall x \in G) (\exists y \in G)$ tal que $y \cdot x = e$ , de iii’) también tenemos, en particular, que $(\exists w \in G)$ tal que $wy=e$ Así, sea $x \in G$ entonces

$x = e \cdot x = (w \cdot y) \cdot x = w \cdot (y \cdot x) = w \cdot e = w (e \cdot e) = w \cdot [(y \cdot x) \cdot e]$

$(w \cdot y)(x \cdot e) = x \cdot e$

lo que implica

$e \cdot x = x \cdot e$

Qué es equivalente a ii) de la definición original. Por otro lado tenemos también que

$e = w \cdot y = w \cdot (e \cdot y) = w \cdot [(y \cdot x)] \cdot y = (w \cdot y) \cdot (x \cdot y) = x \cdot y = e$

de donde

$yx = xy$

Que es parte de la condición iii).

Hasta aquí la prueba

La dirección de dónde he tomado la demostración anterior es ésta:

http://memorandummatematico.wordpress.com/2012/05/17/sobre-la-definicion-de-grupo/#comment-18

http://memorandummatematico.wordpress.com/2012/05/17/sobre-la-definicion-de-grupo/

http://memorandummatematico.wordpress.com/2012/05/17/

Se trata de un blog muy interesante sobre conocimientos matemáticos y su dirección la dejo en este enlace a un interesante y bonito blog

PROBLEMA Nº 6 DE ESTA ENTRADA

1. Sea  un grupo finito en el que la unión de dos subgrupos cualesquiera es también subgrupo de . Prueba que  es cíclico.

2. Sea  un grupo finito en el que para cualesquiera  subgrupos $H\leq{K}$ o $K\leq{H}$ . Prueba que es orden del grupo es potencia de un número primo y que el grupo es cíclico.

Cuando hayas pensado lo suficiente, puedes encontrar pistas para la solución en http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=64712.msg259773;topicseen#msg259773
que, para mayor comodidad pongo en este acceso a la discusión del foro de matemáticas sobre el problema

PROBLEMA Nº 7 DE ESTA ENTRADA

1. Sea  grupo y $H=\{x^2:x \in G\}$ subgrupo de . Prueba que  es normal y  abeliano.

Sea $x \in G, h \in H$ . Entonces $x^{-1}hx=x^{-2}xhx=x^{-2}h^{-1}hxhx=x^{-2}h^{-1}(hx)^2 \in H$

2. Sea  grupo y  subgrupo tal que $H\subseteq{Z(G)}$ , que es el centro del grupo. Prueba que  es subgrupo normal y que si  es cíclico  es abeliano.

Que es subrgrupo normal no hay que demostrarlo, ¿no? Creo que saldría directo de

Y si  es cíclico, ¿de qué forma es,  con $h\in{H}$ ? Tengo el mismo problema de antes, no acabo de ver cómo funcionan los grupos cocientes.

Cuando lo hayas pensado un rato, puedes consultar pistas en este enlace al foro de matemáticas

PROBLEMA Nº 8 DE ESTA ENTRADA

1. Demuestra que si  es grupo finito con orden no divisible entre , entonces para cada $a \in G$ existe $b \in G$ tal que

Sea . Como  no es divisible por , . Por la identidad de Bézout, , luego $a^{nx+3y}=a$ por lo que . Basta tomar entonces

2. Prueba que si un grupo tiene dos elementos es abeliano, y que  es abeliano.

3. Comprueba si la aplicación es o no interna

a) En $\mathbb{Z}^+$ , la operación

b) En $\mathbb{Z}^+$ , la operación , siendo  al menos 5 unidades mayor que

c) En $\mathbb{Z}^+$ , la operación , siendo  el menor entero mayor que  y

d) División en $\mathbb{Q}-\{0\}$

e) División en $\mathbb{Q}$

PISTAS EN

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=64682.0

a
PROBLEMA Nº9 DE ESTA ENTRADA
Sea G un grupo. Probar que $C^{\prime} = \{ a\in{G} \; \textrm{tales que}\; (ax)^2 =(xa)^2 \; \textrm{para cualquier}\; x\in{G} \}$ es un subgrupo de G
Respuesta (¿para cuando?)
En primer lugar
$C^{\prime}$
es no vacío, porque el elemento neutro pertenece a $C^{\prime}$
Supongamos que $a\in{C^{\prime}}$ entonces se cumple que $(ax)^2 =(xa)^2$ es decir $axax=xaxa$
Tomamos inversos en esa igualdad y llegamos a que
$(axax)^{-1} = (xaxa)^{-1}$    es decir que
$x^{- 1} a^{-1} x^{-1} a^{-1} = a^{-1} x^{-1} a^{-1} x^{-1}$
Como x es arbitrario, se tiene que para cualquier y tomamos
$x=y^{-1}$ y llegaremos a la conclusión de que $yaya=ayay$, es decir que $(y a^{-1})^2 = (a^{-1} y)^2$ , lo cual significa que ${ a^{-1}}\in{C^{\prime}}$
Hemos probado que todo elemento de $C^{\prime}$ tiene su inverso en $C^{\prime}$
Nos queda probar que $C^{\prime}$ es cerrado para la multiplicación del grupo
Suponiendo que $a$   y   $b$ son dos elementos de
$ C^{\prime}$ entonces se cumple que
$(abx)^2 =(bxa)^2 = (xab)^2$
lo cual significa que $ab\in{C^{\prime}}$

PARA TERMINAR:
Para terminar comento este otro blog que contiene teoría de grupos, en forma de vídeos, con teoría y ejercicios, pincha para acceder a vídeos sobre grupos
Este blog ya lo he comentado en una entrada propia en este blog, titulada "un blog prometedor"
Un caso particular de grupo es el grupo simétrico. En la siguiente entrada de éste mismo blog se ofrece información sobre el mismo:
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2013/03/grupo-simetrico.html

SECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Aquí hay problemas resueltos de introducción a la teoría de grupos

Problemas resueltos de teoría de grupos

Más problemas resueltos de teoría de grupos

Acceso a problemas de teoría de grupos

Gran Traca Final: un montón de archivos sobre teoría de grupos
https://drive.google.com/folderview?id=0BzfhQuA7D_e6Y2VLaGx0QTlXVkU&usp=sharing