Algunos límites difíciles

En esta entrada iré colocando unos cuantos límites más o menos difíciles junto con pistas para resolverlos. Serán límites tanto de sucesiones como de funciones.
Espero de los amables e intrépidos lectores y lectoras que propongan soluciones o pistas para llegar a la respuesta de algunos de estos límites en comentarios a esta entrada.
Además, que utilicen también los comentarios para proponer otros límites interesantes, curiosos, raros o difíciles.



Halla los límites siguientes:

1.-      $$         \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x    $$          

2.-       $$   \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}(cos(x))^{1/x}    $$

3.-      $$       \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\left |{(cos x)}\right |^{1/x}}     $$

4.-      $$   \displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{(\sqrt[n]{n}-1)n}{\ln(n)}   $$

    Pistas en este enlace

5.-      $$     \displaystyle\lim_{x \to 0}{\left |{(cos x)}\right |^{1/x}}       $$

6.-       

Pistas en este enlace

7.-  Cuando pasamos del nivel elemental al nivel superior en el estudio de los límites comienza a cobrar interés no ya el encontrar el límite de una sucesión, sino  el demostrar que el límite de determinada sucesión existe. En esta línea se enmarca el siguiente problema:
Consideremos una sucesión $ x_n $ que cumple las condiciones:
a) $x_n  \geq{0} $  para todo número natural n
b) $x_{n+1} \leq{x_n  + \displaystyle\frac{1}{n^2}}$ para todo número natural n
Demuestra que una sucesión de este tipo es convergente

Pistas para la solución aquí



8.-   Sabiendo que $ a_1 =1 $  y que $ a_n = 4n + a_{n-1} $ demuestre que  $ \left |{a_n - 2n^2 }\right | <2n $
      ¿Qué se puede decir del límite de esta sucesión cuando  n  tiende a infinito?

 PISTAS: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=67993.0;topicseen

9.- Sea un Numero natural k, con la sucesion







Se trata de demostrar convergencia, calcular el limite  y encontrar los valores de k para que l(k) sea entero.

Pistas:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=72092.msg286473;topicseen#msg286473