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domingo, 24 de noviembre de 2013

La demostración en matemáticas, la demostración en geometría, demostraciones visuales

Empezamos dando una idea de qué es demostrar en matemáticas:


En matemáticas, una demostración matemática o prueba es un argumento deductivo para una afirmación matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas. En principio una prueba se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como axiomas. 1 2 Las pruebas son ejemplos derazonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos; una prueba debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada que se cree verdadera se conoce como conjetura.
Las pruebas emplean lógica pero normalmente incluyen una buena parte de lenguaje natural, el cual usualmente admite alguna ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las pruebas en las matemáticas escritas puede ser considerada como aplicaciones de lógica informal rigurosa. Las pruebas puramente formales, escritas en lenguaje simbólico en lugar de lenguaje natural, se consideran en teoría de la prueba. La distinción entre pruebas formales e informales ha llevado a examinar la lógica matemática histórica y actual, el cuasi-empirismo matemático y el formalismo matemático. La filosofía de las matemáticas concierne al rol del lenguaje y la lógica en las pruebas, y en las matemáticas como lenguaje.
El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.
(Este texto procede de: http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica )


LO MISMO, DE OTRA MANERA:

Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión). El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.
Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:
  1. Demostración por contraposición(formalizado y utilizado, en los silogismos, por Aristóteles)
  2. Demostración por reducción al absurdo(formalizado y utilizado por Aristóteles), y como caso particular, descenso infinito
  3. Inducción matemática
  4. Inducción fuerte
Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclidiana.

Dos libros importantes, que se pueden encontrar gratis:


Aprender a razonar, de Fina Pizarro: 

Cómo entender y hacer demostraciones matemáticas, de Daniel Solow
http://www.matxmat.es/joomla3/index.php/geogebra/demostraciones-visuales



Otro libro muy importante, circunscrito a la geometría, es "Acerca de la demostración en Geometría", que puedes encontrar en  http://adria.inaoep.mx/~diplomados/biblio/logicaconjuntos/demostraciones/ACERCA_DE_LA_%20DEMOSTRACION_%20EN_GEOMETRIA.pdf

Otro libro interesante es "Errores en las demostraciones geométricas". Si sabes dónde lo puedo descargar, déjame por favor la dirección en los comentarios

Un blog dedicado a la demostración en Matemáticas

OTRAS VISIONES SOBRE LA DEMOSTRACIÓN,en las direcciones siguientes:
http://www.sav.us.es/ensenanzavirtual/normas/estilos/ejemplo_demostracion.htm
http://home.comcast.net/~729FSC/SolowDanielComoEntenderYHacerDemostraciones.pdf
http://www.dimensions-math.org/Dim_CH9_ES.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://www.slideshare.net/filosofico/mtodos-de-demostracin-en-matemtica
http://www.rac.es/ficheros/doc/00902.pdf
http://www.vandal.net/foro/mensaje/364540/42-metodos-de-demostracion-en-matematicas/
http://wwwhatsnew.com/2011/09/13/proofwiki-el-compendio-de-las-demostraciones-matematicas/
http://elcantodelmirlo.blogspot.com.es/2011/08/sobre-la-demostracion-en-las.html
http://gaussianos.com/diez-formas-de-pensar-como-un-matematico/
http://www.ehu.es/~mtpalezp/demogeo.pdf
http://www.geogebra.org.uy/2012/actas/42.pdf
http://phobos.xtec.cat/creamat/joomla/file/2_razonamiento_y_demostracion.pdf
Otro es demostración en geometria

Un sitio para encontrar un montón de demostraciones matemáticas, pero está en inglés y sospecho que a nivel universitario es ProofWiki
ProofWiki  es un excelente sitio de los que conviene guardar en favoritos, de gran utilidad para estudiantes y docentes de matemáticas  y otras ramas de las ciencias. Funciona a modo de wiki, por lo que cualquier usuario registrado puede contribuir a este sitio  agregando nuevas pruebas matemáticas.
Pongo un enlace a un sitio donde se reseña ProofWiki y otro directo al sitio:
http://www.softandapps.info/2011/09/13/proofwiki-compendio-en-linea-de-demostraciones-matematicas/

http://www.proofwiki.org/wiki/Main_Page

En realidad, lo que se me está ocurriendo es hacer una entrada sobre la demostración en general y luego particularizar a las demostraciones visuales.  Pero a su vez habría que contextualizar la demostración matemática como parte del razonamiento matemático, y éste como parte del razonamiento científico, que a su vez es un desarrollo de la capacidad de razonamiento que usamos en nuestra vida cotidiana.
Por eso creo que habría que empezar estudiando razonzamiento, después, razonamiento científico en general y matemático en particular, resolución de problemas y por último, demostraciones.
Este planteamiento da para varias entradas, que iré haciendo poco a poco. La primera ya está hecha y es http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/consejos-para-resolver-problemas.html
Veamos unos enlaces interesantes previos al asunto de las demostraciones visuales:
Aquí enlazas con un vídeo sobre razonamiento matemático.
Y ahora, varias direcciones con documentos sobre resolución de problemas:
http://platea.pntic.mec.es/jescuder/BLOG-1/Resolucion%20de%20problemas%20matematicos.pdf
http://www.unizar.es/ttm/2004-05/
http://www.cimat.mx/~gil/rincon/
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/consejos-para-resolver-problemas.html
http://www.youtube.com/watch?v=VMWUesUppRo
http://www.youtube.com/watch?v=7bADHSgueLY
http://www.youtube.com/watch?v=ZnxitmMtwiY
http://www.youtube.com/watch?v=AK1negJQhEY
Tenemos en España,un gran matemático, Miguel de Guzmán, ya fallecido que dedicó bastante atención a la resolución de problemas. Inspiradas en su obra, las siguientes páginas:
http://cifrasyteclas.com/2013/06/19/estrategias-para-resolver-problemas/
http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/educacion/resolucion
http://gaussianos.com/diez-formas-de-pensar-como-un-matematico/
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=5&Itemid=67
https://twitter.com/EDocet
http://cifrasyteclas.com/2013/01/23/puntos-rectas-y-un-problema-sin-resolver-que-cualquier-nino-puede-entender/
http://www.openproblemgarden.org/
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3mo_plantear_y_resolver_problemas
http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/polya.html
http://www.ugr.es/~fjperez/resolver_problemas.html
http://www.fundacionalda.org/mm/file/biblio_recursosdidacticos/19_Resolucion_problemas_MigueldeGuzman.pdf
http://revistasuma.es/IMG/pdf/21/011-020.pdf
http://activitat-matematica.wikispaces.com/file/view/FASES%20DEL%20PROCESO%20DE%20RESOLUCI%C3%93N%20DE%20PROBLEMAS.pdf

En estos vídeos se tratan temas matemáticos, técnicas de demostración y resolución de problemas.
Vídeos de matemáticas: me parecen originales, simpáticos y didácticos





 ¡Por fin!
Nos centramos en las demostraciones visuales:
http://gaussianos.com/la-singular-belleza-de-las-demostraciones-visuales/
De esta última dirección destacamos lo siguiente: Si de una demostración conseguimos ver el resultado, podemos admirar mucho más su belleza y dicho resultado se nos acaba quedando mucho mejor.
Por desgracia no podemos demostrar de manera visual todo resultado matemático (o sí, quién sabe). Además, aunque tengamos un gráfico explicativo del mismo siempre nos hará falta una demostración formal que nos asegure que dicho resultado es cierto. De todas formas, como hemos dicho antes, eso no resta ni un ápice de belleza a las demostraciones visuales.
demostraciones visuales en la red

 http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/EugenioHernandez/Demostraciones%20visuales.doc.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm
http://www.matxmat.es/joomla3/index.php/geogebra/demostraciones-visuales
http://www.youtube.com/watch?v=0sAemvb0niI
http://personales.unican.es/alvareze/estalmat/0809/demosvisual_4dic08.pdf
http://www.gpdmatematica.org.ar/galeriaproblemas/demostraciones_visuales.pdf
http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/09/04/demostraciones-visuales-sumas-de-potencias/
http://eulerianos.com/pitagoras-demostracion-visual/
http://www.matematicainteractiva.com/etiquetas/demostraciones-visuales
http://www.mat.ucm.es/~joseluismunoz/wordpress/?tag=demostraciones-visuales
http://www.matxmat.es/joomla3/index.php/geogebra/demostraciones-visuales
http://www.matematicasvisuales.com/html/historia/archimedes/archimedesellipse2.html

Una vez presentadas las demostraciones visuales, destaco ésta, señalándola como de las más interesantes de las que he visto.
http://gaussianos.com/demostracion-sin-palabras-sobre-la-suma-de-una-serie-numerica/

Enlace a imágenes que se usan en demostraciones visuales

Algunas demostraciones visuales sencillas
 
1. La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.


3. Las dos perpendiculares a los lados desde un punto que esté en un lado de un triángulo equilátero suman igual a la altura del triángulo.

 

Están sacadas de Enlace

 
En el siguiente enlace hay una demostración visual de la  fórmula del seno de una suma
http://rinconmatematico.com/senosuma/senosuma.pdf
Otra demostración:
http://rinconmatematico.com/bunge/tresproblemas/mismaestrategia.pdf

Un blog que trata las matemáticas de manera visual: "matemáticas visuales"
http://www.matematicasvisuales.com/html/historia/archimedes/parabola.html
http://www.matematicasvisuales.com/index.html

DEMOSTRACION VS COMPROBACIÓN
Un tema importante es distinguir entre demostración y comprobación. Hacer una comprobación es dar uno o vrios ejemplos de que se cumple una propiedad. Pero eso nada tiene que ver con la demostración de esa determinada propiedad. Pondremos un enlace donde se ven dos situaciones espectaculares en las que decenas en un caso, y centenares de miles, en otro caso de ejemplos concretos de que se cumple algo no garantizan que sea cierto siempre.
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=87127.msg349512;topicseen#msg349512

LA MANERA DE PENSAR DE LOS MATEMÁTICOS

https://www.gaussianos.com/diez-formas-de-pensar-como-un-matematico/ 

VAMOS ACABANDO (POR EL MOMENTO)
Nota final;
Para terminar esta entrada, es  conveniente hacer referencias a libros sobre heurística, sobre demostración y sobre demostraciones visuales.
Además, debería incluir un texto más amplio resumiendo mis ideas sobre el asunto,
Esto quiere decir que esta entrada está incompleta, hay que terminarla.
Pronto la continuaré, en la medida de los posible, añadiendo contenidos y puliendo y mejorando los que ya hay para así conseguir una visión del tema que sea interesante y útil

Hasta pronto

P:D.    Pequeño resumen de lo anterior:

¿Porqué es necesario en matemáticas (y en todo) razonar lo que vemos, oímos y pensamos?

La verdad no se alcanza hasta que no razonamos las certezas. las opiniones que tenemos

Éste es el artículo en el que los matemáticos Rey Pastor y Puig Adam explican porque la intuición, la percepción, lo que nos parece evidente no basta para dar algo por verdadero. 

Hay que razonar eso que nos parece cierto o evidente o que damos por obvio.

En el artículo muestran que es necesario razonar para alcanzar la verdad en el contexto de explicar qué es la geometría:  Merece la pena descargar y leer con atención estas cuatro páginas

El ejemplo que tratan puede tratarse como  un acertijo, paradoja o pasatiempo y lo tenemos en estos dos enlaces, en los que se trata este ejemplo con detenimiento:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124574.0&fbclid=IwAR1N6Mcz9g-gB3HelcnjQKj3LD9A5f_7EIjoCGY6NQmWMD0scLdVS6c9glo

https://www.youtube.com/playlist?list=PLYxw0xEQPtI4uKF-7g6L5Fqv2fiH7jRHn 

Esto nos lleva a la idea de demostración en geometría y en matemáticas, para lo cual se puede leer:

https://ia902204.us.archive.org/3/items/a.-i.-fetisov-acerca-de-la-demostracion-en-geometria-lecciones-populares-de-matematicas_202202/A.%20I.%20Fet%C3%ADsov%20-%20Acerca%20de%20la%20demostraci%C3%B3n%20en%20geometr%C3%ADa%20%28Lecciones%20Populares%20de%20Matem%C3%A1ticas%29.pdf 

 

http://adria.inaoep.mx/~diplomados/biblio/logicaconjuntos/demostraciones/ACERCA_DE_LA_%20DEMOSTRACION_%20EN_GEOMETRIA.pdf 

 

http://www.revista-educacion-matematica.org.mx/descargas/vol3/vol3-3/vol3-3-5.pdf

 


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