El nacimiento de los números complejos (aún incompleto)

1.- Las diferentes clases de números y las ecuaciones
2.- Ecuaciones de primer, segundo y tercer grado: resolución por radicales
3.- Caso irreducible
4.- Porqué se hace necesario operar con números imaginarios
5.- Los números complejos proporcionan la respuesta

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1.-  LAS DIFERENTES CLASES DE NÚMEROS Y  LAS ECUACIONES
            En la enseñanza media se estudian diferentes clases de números, de manera que cada tipo de número también pertenece a la siguiente clase. Éstos son los números naturales, los enteros, los racionales, los números reales y por último, y ya en los cursos más avanzados de la enseñanza media, los números complejos.
           En muchos libros de texto se justifica la aparición de estas cada vez más amplias clases de números por el hecho de que permiten resolver ecuaciones cada vez más generales.
           Así los números naturales, que son los que sirven para contar, 1,2,3,...  permiten resolver ecuaciones de primer grado como $x+3=7$ cuya solución es $x=4$ y en general  todas las del tipo $x+a=b$ con $a<b$ (a y b son números naturales)
            Sin embargo, ecuaciones muy parecidas a los anteriores no pueden resolverse dentro del conjunto de los números naturales. Por ejemplo $x+5=2$ es una ecuación que al intentar resolverla nos lleva a $x=2-5$ . Esta operación no lleva a nningún número  natural, sino al número entero $2-5=-3$,
            Por tanto debemos ampliar el concepto de número, incluyendo los números negativos. A nosotros nos parecen tan números como los positivos, pero fué, en su momento histórico, dificil considerar número a algo que vale menos que nada (por supuesto que aquí "nada" está representado en el  contexto matemático por el número cero).  Así llegamos a los números enteros, formados por los números naturales (que pasan a llamarse enteros positivos) los negativos (que son los opuestos de los números naturales o positivos) y el cero.
            Los numeros enteros entraron tarde en la historia de las matemáticas, en Europa en la época del Renacimmiento, y esto se debe a que es complicado imaginar un número que no vale nada (el cero) o que vale menos que nada (cualquier número negativo).
            Además habíia que descubrir las reglas que permiten operar con números enteros, como la famosa "menos por menos es más" que tienes comentada  en esta dirección http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com/2013/04/menos-por-menos-es-mas.html
            Si disponemos de los números enteros se pueden resolver todas las ecuaciones del tipo $x+a=b$ sin preocuparnos de si a es mayor que b o al revés. La solución es $b - a $ que siempre es un número entero supuesto que tanto a como b son enteros a su  vez.
           Otra ecuación que podemos resolver con los números naturales y enteros es $2x=8$ . La solución es $x=4$ que resulta de realizar la cuenta $\frac{8}{2}= 4$ . Pero otra ecuación de este mismo tipo, con coeficientes algo diferentes, ya no tiene solución entre los números  enteros. Por ejemplo $2x=7$ cuya solución es $x= \frac{7}{2}$ que no  es entero.
          Para que estas ecuaciones se puedan resolver necesitamos los números racionales, que son todos los que se pueden expresar como fracción (más exactamente, cada número racional se expresa mediante infinitas fracciones equivalentes entre sí)
          Efectivamente, si disponemos de números racionales entonces las ecuaciones del tipo $ax=b$ tienen todas solución dentro de ese conjunto de los números racionales, que es $x= \frac{b}{a} $ que es un número racional para cualquier valor de a y b, tanto si son enteros como racionales en general.
          Más aún, dentro del conjunto de los números racionales tienen solución todas las ecuaciones del tipo $ax+b=c$ siendo a, b y c números racionales también. La solución es $x=\frac{c-b}{a} $ que vuelve a ser un número racional.
         Ejemplos de ecuaciones que podemos resolver dentro del conjunto de los números racionales son:
  $\frac{2}{3}x -\frac{5}{2}= \frac{4}{5}$    o bien  $ \frac{\frac{3}{4}x}{\frac{2}{3}}+ \frac{4}{\frac{3}{5}}=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{3}{2}} $ y otras similares (además de todas las anteriores)
          También se pueden resolver dentro de los racionales otras ecuaciones como $x^2 +1 =37$ o $x^3 +1=9$ o bien $2x^2 +4 =36$.
           En cambio muchas ecuaciones parecidas a estas no tienen solución si nos limitamos a números racionales. Por ejemplo $2x^2 +5=9$. Si intentamos resolver esta ecuación damos los siguientes pasos:
$$2x^2 =9-5=4$$
$$2x^2 =4$$            $$x^2=\frac{4}{2}=2$$
y por último $$x=\sqrt{2}$$
Ahora bien el número $\sqrt{2}$ no es racional, es decir, no puede ponerse como fracción (Se puede demostrar; ver http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com/2012/12/la-demostracion-de-apostol-de-la.html)

           Para que las ecuaciones de este tipo tengan solución se introducen los números irracionales. Se trata de números que no pueden representarse medinte fracciones con numerador y denominador números enteros .Igual que los racionles, admiten desarrollo como número decimal, pero en vez de ser decimales finnitos o periódicos, los números irracionales tienen desarrollos con infinitos decimales no periódicos.
           Al conjunto de los números raconales e irracionales se le llama conjunto de los números reales
          Los números reales son los que resultan de la medida de segmentos, áreas o volúmenes. Son el principal "caballo de batalla" de la enseñanza secundaria.
          Pero todavía quedan otros tipos de números por conocer. Los últimos que se "inventaron" o "descubrieron", ya en la Edad Moderna (a partir de los siglos XVI y XVII )
           Una breve  y concisa presentación de los números imaginarios puede encontrarse aquí 
y una manera de comenzar a trabajar con ellos aparece en este enlace
  

2.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO, SEGUNDO Y TERCER GRADO: RESOLUCIÓN POR RADICALES.

       Las ecuaciones de primer grado se pueden resolver de forma general
$ax+b=c$ entonces $x= \frac{c-b}{a} $
Esto se consigue operando con las leyes usuales del álgebra y siempre da lugar a una solución

      Las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^2 + px+q=0$ se resuelven usando un proceso llamado "completar el cuadrado"
Este proceso se basa en la fórmula $(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 $
Empezamos dejando en el primer miembro de la igualdad los térmiinos que contienen x
$$x^2 +px = -q$$

      Ahora hay que actuar astutamente: si el primer miembro formara parte del cuadrado de una suma, entonces el cuadrado del primer término sería $x^2$  (y por tanto el primer término sería x).
      Además el doble producto del primero por el segundo sería $px$.
      Eso significa que, ya que sabmos que el primer término es $x$, entonces el segundo término debe ser $\frac{p}{2}$  para que el doble producto del primero por el segundo sea $ 2 \frac{p}{2} x =  px$
En el primer miembro de la igualdad nos falta el cuadrado del segundo, es decir, el cuadrado de $\frac{p}{2}$, que es  $(\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}$
Como falta, lo que hacemos es añadirlo en ambos miembros de la igualdad y obtenemos la nueva igualdad
$$x^2 +px+\frac{p^2}{4}=-q + \frac{p^2}{4}$$
Esta nueva igualdad se puede reescribir $$(x+ \frac{p}{2})^2 =-q + \frac{p^2}{4}$$
Extraemos raíces cuadradas y queda  $x+\frac{p}{2} = \sqrt{-q + \frac{p^2}{4}}$
Y de aquí pasamos a $$x= \frac{-p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}- q }$$
        Éste es un ejemplo, el más sencillo, de resolución por radicales. significa que hemos obtenido una fórmula que nos permite conocer las soluciones de una ecuación a partir de los coeficientes de esa ecuación y de las operaciones "racionales" (que son, suma, resta, multiplicación y división) junto con la extracción de raíces (cuadradas, cúbicas o de cualquier índice).
       Aquí podemos encontrar un primer resquicio para introducir números compleos, ya que aparecen raíces cuadradas de  números negativos. Como ejemplo, un problema que aparece en el Ars Magna de Cardano, en 1545. El problema dice: Encuentra dos números que sumen 10 y cuyo prroducto sea 40
       Si resolvemos el problema anterior, llamaremos $x$ a uno de los números y el otro será $10-x$ , para que sumen 10, y traduciremos a lenguaje algebraico escribiendo $x(10-x)=40$
       Resolvemos la ecuación $$10x-x^2=40$$
       Vamos a completar el cuadrado $$x^2-10x=-40$$  El primer termino es x, el doble del primero por el segundo es $-10x$ y por tanto el segundo es -5 y hay que añadir a los dos miembros el cuadrado del segundo, que es $25$ y tendremos
$$x^2 -10x +25 = 25-40$$
$$(x-5)^2 = -15$$   Extraemos raíz cuadrada en los dos miembros de la igualdad. Pero ¡ojo! cada número real tiene dos raíces cuadradas,una positiva y otra negativa. Por eso hay poner un doble signo "más menos" delante de la raíz  $$x-5=a \pm b sqrt{-15}$$.   Y podemos despejar x  $$x=5 a \pm b sqrt{-15} $$
      Pero para hallar x tenemos que hallar la raíz cuadrada de un número negativo. Es decir, la raiz cuadrada de -15. Buscamos un numero que elevado al cuadrado de -15. Pero cualquier numero real, al elevarlo al cuadrado, da siempre un número positivo. Por tanto estamos buscando unn nuevo tipo de número. $5+sqrt{-15}$ no es un número real porque $sqrt{-15}$ no lo es. Se trata de un número complejo. Pero Cardano, ni ningún matemático de su tiempo o anterior, pensaron que habían descubierto un nuevo tipo de números, sino que los cálculos a los que llevaba este problema no tenían sentido y por tanto que es problema no tenía solución.
        En el siguiente enlace se cuenta la historia de la invención o descubrimiento de los números complejos https://elpais.com/elpais/2017/12/28/ciencia/1514474875_463705.html
        Fueron otro tipo de situaciones las que llevaron a los pensadores a admitir una nueva clase de números. Para comprenderlo, primero tenemos que aprender a resolver la ecuación general de tercer grado.
        Antes de abandonar las ecuaciones de segundo grado vamos a recordar las relaciones entre los coeficientes de la ecuación y las soluciones de la misma. Supongamos que la ecuación es $x^2 +px +q =0$ y que las soluciones son $x_1$ y $x_2$.  Entonces la ecuación puede factorizarse $(x-x_1 )(x-x_2 )=0$ Si desarrolamos el producto de los dos paréntesis obtenemos $x^2 x x_2  - x_1 x +x_1 x_2 =0$ que podemos expresar $x^2 - (x_1 + x_2 )x + x_1 x_2 = 0$
       Si comparams esta última con  $$x^2 +px +q =0$$    llegamos a la conclusión de que $$\begin{cases} {x_1 +x_2 =-p} \\{x_1 x_2 =q}\end{cases}$$
       Más adelante usaremos estas relaciones. Ahora sí, acabamos con las ecuaciones de segunndo grado, aunque aparecerán más adelante.
        Vamos a aprender a resolver ecuaciones del tipo $x^3 +px+q=0$
        Los razonamientos que siguen necesitan una motivación geométrica.(En este enlace hay información http://franciscojosemenchencaballero.blogspot.com/2010/12/algebra-ii-la-ecuacion-cubica.html  y también en https://www.ugr.es/~eaznar/ecuaciones.htm)
        Despejamos $x^3$ y rsulta $x^3=-px-q$ y comparamos esto con la fórmula $(u+v)^3 =u^3 +3u^2 v +3uv^2 +v^3$ pero vamos a expresar el segundo miembro de cierta manera $$(u+v)^3 = 3uv(u+v) +u^3 +v^3$$
       Jugamos con las igualdades $x^3=-px-q$  y  $(u+v)^3 = 3uv(u+v) +u^3 +v^3$
       Identificamos $x$ con $u+v$  entonces mirando las fórmulas se tiene que cumplir $3uv=-p$ y $u^3 +v^3 =-q$
        De ahí se deduce que  $u^3 + v^3 =-q$   y   $uv=-\frac{p}{3}$  De esto último se deduce que $u^3 v^3 =-\frac{p^3}{27}$.
        Ahora usamos las relaciones entre los coeficientes y las soluciones de las ecuaciones de segundo grado para concluir que $u^3$  y  $v^3$  son soluciones de la ecuacion de segundo grado:
       $z^2 +qz - \frac{p^3}{27} =0$
        
    ENTRADA EN CONSTRUCCIÓN

      



CONTINUARÁ                                                       TO BE CONTINUED