martes, 30 de abril de 2013

Menos por menos es más

En esta entrada recopilo opiniones de cómo explicar la famosa regla matemática que dice "menos por menos es más"


A todos los profesores de matemáticas alguna vez nos han preguntado ¿porquè menos por menos es más?
Tenemos la tentación de decir "simplemente, son las reglas"
Unas cuantas maneras de enfocar la explicación de este hecho están aquí:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=66014.msg265028#msg265028
http://www.youtube.com/watch?v=Z9C1YRLXcqc
http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-119814-2009-02-11.html
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20060930152957AAoIvZr
http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20071004064731AA6fMVm
http://www.actiludis.com/?p=22479
http://en-idioma-m.blogspot.com.es/2009/05/por-que-menos-por-menos-da-mas.html
http://www.uv.es/gomezb/4Lajustificaciondeladeregla.pdf

En el libro de Ian Stewart "Cartas a una joven matemática" se trata este tema´
Según dice el mismo autor, el libro es una visión desde dentro de las matemáticas, y explica en qué consiste ser matemático y estudiar matemáticas al máximo nivel.
El libro está redactado en forma de cartas que el autor escribe a una joven que comienza a estudiar matmáticas en la universidad: comienza a principios del libro y va evolucionando a lo largo del mismo, de manera que en un momento dado la protagonista  ha terminado su formación básica y comienza una tarea de investigación que debe alternar con la tarea de dar clases.
En este contexto aparece un capítulo dedicado a la enseñanza de las matemáticas, como un aspecto más del quehacer matemático. Hay que repetir que en la situación que imagina el autor, aparece la enseñanza de las matemáticas a nivel universitario.
Es en el capítulo a que me estoy refiriendo donde aparece, a modo de ejemplo, el asunto "menos por menos es más"
Merece la pena transcribir el texto que Ian Stewart dedica a la regla de los signos:
"..... En algún momento en el inicio de tu carrera docente alguno de tus alumnos de iniciación al cálculo te preguntará por qué "menos por menos da más". Por ejemplo, (-3)x(-5)=+15 y no -15. E incluso si este tema debería haber sido superado en el instituto, vas a tener que justificar el convenio matemático estándar.
       Lo primero es admitir que se trata de un convenio. Puede ser la única elección que tiene sentido, pero si hubieran querido, los matemáticos podrían haber insistido en que (-3)x(-5)=-15. El concepto de multiplicación habría sido entonces diferente, y las leyes usuales del álgebra habrían sido destrozadas y arrojadas por la ventana, pero qué le vamos a hacer. A menudo las viejas palabras adoptan nuevos significados en nuevos contextos y no hay nada sagrado en las leyes del álgebra.
     Hay dos razones por las que el convenio estándar es bueno: una razón externa, que tiene que ver con la forma en que los matemáticos modelan la realidad, y una razón interna, que tiene que ver con la elegancia.
     La razón externa convence a muchos alumnos. Considera los números como una representación del dinero en el banco, donde los números positivos son dinero que tú posees, y los números negativos son deudas que tienes con el banco. Entonces -5 es una deuda de 5 dólares, así que 3x(-5) es tres deudas de 5 dólares, que evidentemente equivale a una deuda total de 15 dólares. Así que 3x(-5)=-15 y nadie parece tener problemas con eso. Pero, ¿qué pasa con (-3)x(-5)?. Esto es lo que tú obtienes cuando el banco te perdona tres deudas de 5 dólares. Si lo hace, tú ganas 15 dolares, así que (-3)x(-5)=+15
   La única otra elección que cualquier estudiante pueda hacer es -15, pero esto te dejaría con una deuda.
  La explicación "interna" es hacer una suma como (-3)x(5-5). Por una parte, esto es evidentemente cero.
  Por otra, podemos utilizar las leyes del álgebra para desarrollarla, obteniendo (-3)x5 + (-3)x(-5). Puesto que ya hemos acordado que menos por más es menos, deducimos que la consistencia de las leyes del álgebra requiere -15+(-3)x(-5)=0,  lo que implica que (-3)x(-5) =15 (sumando 15 a cada miiembro).
 Lo más que podemos es afirmar en el primer caso es que si queremos que las matemáticas sirvan de modelo a las cuentas bancarias, entonces menos por menos tiene que funcionar como más. Lo más que podemos afirmar en el segundo caso es que si queremos que las leyes usuales del álgebra sean válidas para números negativos, entonces pasa lo mismo. No hay nada que obligue a una cosa u otra sea verdadera. pero ciertamente será más conveniente si lo son, y por eso es por lo que los matemáticos escogen ese convenio particular.....
..... Lo importante es no decirle al alumno: "Así son las cosas. No lo cuestiones, simplemente apréndelo"......"

Hasta aquí el texto de Ian Stewart


Por cierto, cambiando de tema, aquí está la dirección de un vídeo en el que se explica un método gráfico para multiplicar. La pregunta es: ¿Porqué funciona?

Si lo sabes, contéstame en los comentarios, pues a mí no se me ocurre.
Además puedes poner opiniones y observaciones sobre el tema de esta entrada, "menos por menos es más"

Hasta la próxima entrada.



s


1 comentario:

  1. Tal vez explicar que es parte de una estructura algebraica (un conjunto dotado de operaciones) en la que existe un elemento neutro y por ende la existencia de inversos. Como ejemplo partir de los naturales a los enteros. Creo que ese es el camino más natural. Por cierto, buena la recomendación del libro.

    Saludos.

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