Otra vez el camino a la realidad

Resulta temerario tomar este libro como referencia para una excursión por las matemáticas y la física superiores, ya que opiniones de lectores que previamente se han enfrentado a este libro, ya dicen que junto a grandes aciertos contiene enormes fallos en cuanto a la inteligibilidad de las explicaciones, que a veces exige que el lector sea poco menos que un genio de las matemáticas o de la física, o bien que ya conozca los temas que se abordan.
Estas opiniiones están representadas magníficamente aquí
 https://estudiarfisica.com/2014/11/04/el-camino-a-la-realidad-roger-penrose/
Y también aquí:
http://forum.lawebdefisica.com/threads/30954-Roger-Penrose-El-camino-a-la-realidad-Una-gu%C3%ADa-completa-a-las-leyes-del-universo
De todas maneras, ¿merece la pena intentar leer este libro?
A priori parece muy  interesante, pero los lectores señalan muchos inconnvenientes

No obstante voy a empezar aprovechando que tengo el libro tanto en papel como en formato electrónico.
Pero antes quiero recordar que hace años quise ya hincarle el diente a este libro, siendo fruto de aquel intento una entrada sobre el libro en general y dos entradas de este mismo blog, dedicadas respectivamente a los dos primeros capítulos del libro:
Entrada sobre el libro en general:
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com/p/el-camino-la-realidad-roger-penrose.html
En la entrada recién citada tienes acceso al texto en inglés, entre otras muchas cosas
Entrada para el capítulo I:
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com/2013/02/las-raices-de-la-ciencia-capt-i-de-el.html
Entrada para el capítulo II:
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com/2014/07/un-teorema-antiguo-y-una-pregunta.html
Sin duda en estas entradas el lector puede encontrar material complementario o de apoyo que le sirva para introducirse en la lectura y como ayuda para ir comprendiendo todo lo que va diciendo.
Para que puedas seguir el texto, en español:
https://drive.google.com/file/d/1OH0cweXL_kRftb1k6GfdHh-eR64ozWIF/view?usp=sharing


Sin más preámbulos paso a comentar cada una de las partes del libro
PREFACIO:
El libro trata de la búsqueda de los princiipios subyacentes que rigen el comportamiento de nuestro universo.(¡Ay es nada!).
La comprensión de estos principios subyacentes requiere matemáticas.
El universo no se puede comprender sin las matemáticas, luego hay que comprender las matemáticas.Ahí surgen problemas, pues gran parte de la población mundial "ilustrada" (es decir, hablamos de personas inteligentes y cultas) admite que no comprende las matemáticas.
Hace un análisis del concepto de fracción y de la simplificación de fracciones  y de cómo es que hay muchas personas inteligentes que no comprenden esto. Dice que la posición platónica (los entes matemáticos existen de manera peculiar, en el mundo de las ideas) puede simplificar esto. Pero a mi me parece que  lo que deja entrever esto es que las matemáticas son complicadas.Y esta complicación se traslada a la física (la comprensión del universo).
Hay cuatro clases de lectores: El que lee sólo las palabras y nada de las fórmulas, el que también lee las fórmulas, pero no las trabaja, el que intenta comprender tanto la literatura como las ecuaciones y fórmulas trabajando estas últimas, y por último el lector experto, que es el (digo yo) en realidad va a comprender en su totalidad lo que expone el libro.
Yo me planteo ser uno de los tres primeros tipos de lector en según que temas. La lectura y comprensión será ardua y a veces habrá que proveerse de textos (u otras ayudas) complementarios, para poder comprender el texto.
El autor ya advierte que explica los conceptos a su manera, a veces alejada de las maneras habituales de exponerlos.
Por último el autor afirma que avisará cuando exponga ideas que se salgan de la corriente principal de la física moderna actual, por lo cual este libro puede usarse para aprender la susodicha física moderna.
AGRADECIMIENTOS: lo salto
NOTACIÓN: Lo he leído por encima, sin sacar de momento ninguna conclusión. A lo mejor hay que volver aquí en alguna ocasión. Sin embargo la complejidad de la notación te indica a su vez la complejidad de lo que se nos viene encima.Esta aventura será larga y complicada y en muchos momentos voy a verme "paralizado" ante un muro de conceptos y procedimientos que no entenderé.
PRÓLOGO:Una bonita historia,con personajes, sobre el nacimiento del pensar racional, desde la más remota antigüedad (posiblemente la famosa Atlántida) hasta Pitágoras, que el autor reconoce como precursor de la ciencia, sin duda. Se queda en la mente la idea de la dificultad de alumbrar ideas racionales (y no digamos científicas) sobre la naturaleza. Todo esto es una preparación para que nos hagamos conscientes de la dificultad del tema que trata este libro: el camino que nos lleva a los seres humanos a comprender la realidad. Por otra parte, va adelantando su postura "platónica" respecto a las matemáticas.
CAPÍTULO 1: LAS RAÍCES DE LA CIENCIA
Empieza haciendo un relato del nacimiento del pensamiento racional y científico, notando que se necesitaban las matemáticas en primer lugar y resaltando la influencia de los griegos en general y de los pitagóricos  en particular. La clave para construir la matemática es la demostración, que es argumento basado en la lógica y en afirmaciones antes probadas o tomadas como verdaderas(axiomas y postulados) y que nos asegura la verdad de una determinada afirmación, que entonces se considera ya un teorema. Destaca la intemporalidad de las verdades matemáticas y discute como se ha visto afectada la idea de verdad de las proposiciones geométricas que  demostraron los antiguos griegos por la creación de las geometrías no euclídeas.
La discusión del significado de la verdad de los objetos y proposiciones matemáticas lleva al autor a pensar en qué sentido tales entes existen. Se adhiere al platonismo, indicando que existen en el mundo platónico de las formas matemáticas. Aclara que aquí "existir" significa "poseer objetividad" con independencia de su existencia en la mente de uno, varios, la mayoría o todos los matemáticos. Discute los siguientes ejemplos: Las proposiciones de la geometría tras la aparición de las geometrías no eucídeas (ejemplo ya mencionado), el último teorma de Fermat (planteándose sus cambios de estatus a lo largo de la historia), el axioma de elección y el conjunto de Maldebroot.
Así pues existen tres mundos, tres formas de existencia: el mundo físico real, el mundo de nuestras representaciones mentales y el mundo platónico de las formas matemáticas. Estos mundos están relacionados de manera que se esquematiza en la siguiente figura.

Hay que leer esta figura comenzando por cualquier "mundo", siguiendo el movimiento de las agujas del reloj.
Las realidades físicas(una parte de ellas) provocan nuestras representaciones mentales.
Una pequeña parte de nuestras representaciones mentales se dedican a los entes matemáticos.
Una parte de los entes matemáticos modelizan situaciones del mundo físico o real.
Cada conexión de un mundo con el siguiente representa un misterio.
Si partimos del mundo físico o real nos podemos plantear si todas las representaciones mentales tienen base en el mundo real (son pensadas por un cerebro real) o existen entes mentales sin sustrato físico (espíritus, dioses). También podemos pensar que una parte de la realidad no genera representaciones mentales, permanece desconocida.
Si comentamos la conexión del mundo mental con el mundo platónico de las formas matemáticas, es obvio que solo una pequeña parte del mundo mental se ocupa de conocer el munco matemático. Otra cuestión podría ser si nuestra mente es capaz de concebir todas las matemáticas o habrá matemáticas fuera del alcance de la mente humana.
Si miramos por último la conexión del mundo matemático con el físico real, la figura nos dice que toda la realidad es matematizable, aunque hay matemáticas que puede que nunca tengan aplicación práctica.
Penrose resalta que sus tres prejuicios o posicionamientos son: todas las representaciones mentales tienen base o sustrato físico, son pensadas por cerebros, organismos, entes o máquinas reales, todas las matemáticas son pensables o comprensibles o "descubribles" por la mente humana y por último, toda la realidad es matematizable.
Si prescindimos de estos prejuicios, la figura "más abierta" sería la siguiente:

GUNTA

El capítulo termina con unas consideradiones sobre lo bueno, lo bello y lo verdadero, que ya hacía Platón y que la verdad, de momento me interesan menos.
Hasta ahora nos hemos mantenido en un comienzo, en una introducción, en una casi "declaración de intenciones".




CAPÍTULO II : UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA
 En este capítulo empiezan las matemáticas. Empiezan poco a poco, con razonamientos, en principio sin fórmulas. Pero vamos "entrando en materia"
Comienza diciendo que en este capítulo va a dilucidar la cuestion de la existencia de varios tipos de geometría a los que ya se aludió en el capítulo anterior.
Y continua afirmando que es apropiado comenzar por el teorema de Pitágoras. Lo enuncia y pasa a demostrarlo, eligiendo una demostración singular, basada en teselaciones.
Esta es la figura que usa para enunciar el teorema de Pitágoras:

Tenemos que pasar a la demostración. Penrose intenta hacer una demostración que, por un lado tenga cierta evidencia "intuitiva" o "física" y por otro que le permita plantear cuestiones sobre la existencia de las geometrías no euclídeas. Además el asunto de las teselaciones es muy suyo, lo ha trabajado mucho y tiene resultados originales sobre el tema.
Debo dar mi opinión personal, para hacer constar que no podía elegir demostración que me resultara más dificil de comprender. A ver si puedo establecer varios pasos en la demostración y usar las figuras que puedo encontrar y manipular en este enlace
https://www.megustaleer.com.co/libros/el-camino-a-la-realidad/MES-010656/fragmento
Viene en mi ayuda la entrada que aparece en "gaussianos" donde comentan la demostración de Penrose del teorema de Pitágoras,ésta por teselaciones y la siguiente, más sencilla, mediante áreas de figuras semejantes.El enlace es el siguiente:
https://www.gaussianos.com/dos-demostraciones-geometricas-del-teorema-de-pitagoras/

Veamos el argumento general de la demostración tal y como lo expone el propio Penrose:
Consideremos la estructura que se ilustra en la primera figura debajo de este párrafo. Está compuesta enteramente por cuadrados de dos tamaños diferentes. Puede considerarse «obvio» que esta estructura puede prolongarse indefinidamente y que el plano entero queda así recubierto de forma regular y repetitiva, sin huecos ni solapamientos, por cuadrados de estos dos tamaños. La naturaleza repetitiva de esta estructura se hace manifiesta por el hecho de que si marcamos los centros de los cuadrados más grandes, dichos centros constituyen los vértices de otro sistema de cuadrados, de un tamaño algo mayor que cualquiera de los otros, pero inclinados en un cierto ángulo respecto a los originales (segunda figura debajo de este párrafo) y que por sí solos recubrirán el plano entero. Cada uno de estos cuadrados inclinados tiene exactamente las mismas marcas, de modo que las líneas interiores de estos cuadrados encajan para formar la estructura de dos cuadrados original. Lo mismo se aplicaría si, en lugar de tomar los centros de los cuadrados más grandes de entre los dos tipos de cuadrados de la estructura original, elegimos cualquier otro punto, junto con su conjunto de puntos correspondientes a lo largo de toda la estructura. La nueva estructura de cuadrados inclinados es exactamente la misma que antes pero desplazada sin rotación —i.e., mediante un movimiento que se conoce como una traslación—. Por simplicidad, podemos escoger ahora nuestro punto de partida en una de las esquinas de la estructura original.
Las figuras aludidas hasta aquí son:

Los dos cuadrados que forman la teselación inicial pueden considerarse construídos sobre los catetos de un triángulo rectángulo sobre cuya hipotenusa se construye el cuadrado "base" de la segunda teselación

Debería quedar claro que el área del cuadrado inclinado debe ser igual a la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños: de hecho, para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados, las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas interiores pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para formar los dos cuadrados más pequeños.
Apoyemos esto mediante la  siguiente figura:

Con esto concluye la demostración que da Penrose del teorema de Pitágoras, basada en teselaciones, uno de sus temas favoritos. Pero Penrose no ha dado esta demostración "sui generis" sólo porque le gustan las teselaciones ni sólo porque puede entenderse sin recurrir a teoremas previos, apoyándose en una fuerte intuición geométirca, sino porque le va a permitir plantear el asunto de las geometrías no euclídeas.
Para ello, reflexiona que para poder realizar los anteriores razonamientos partimos de la base  de que se
pueden construir cuadrados y teselaciones formadas por cuadrados como la de la figura

Entonces plantea la situación del cuadrilátero de Saccheri (sin decirlo)

Comentario sobre la figura: Tratemos de construir un cuadrado. Tomemos ABC y BCD como ángulos rectos, con AB = BC = CD. ¿Se sigue de esto que DA es también igual a estas longitudes y que DAB y CDA son también ángulos rectos?. Resulta que para probar esto tenemos que usar alguna versión del postulado de las paralelas. ¿Y eso qué es? Pues de eso se ocupa a continuación Penrose.
Euclides expuso la geometría de manera razonada, mediante teoremas que se demostraban usando otros teoremas antes demostrados y unas verdades que se aceptaban como autoevidentes (axiomas) o bien porque eran imprescindibles para demostrar las demás (postulados).
El primer postulado de Euclides afirma, en efecto, que existe un (único) segmento de recta que conecta dos puntos cualesquiera. Su segundo postulado afirma la prolongabilidad ilimitada de cualquier segmento de recta. Su tercer postulado afirma la existencia de un círculo con un centro cualquiera y con cualquier valor para su radio. Finalmente, su cuarto postulado afirma la igualdad de todos los ángulos rectos.
El significado de estos cuatro postulados es el siguiente: los cuatro primeros postulados recogen básicamente nuestra noción actual de un espacio métrico (bidimensional) con completa homogeneidad e isotropía, e infinito en extensión. De hecho, semejante imagen parece estar en estrecho acuerdo con la naturaleza espacial a muy gran escala del universo real, de acuerdo con la cosmología moderna.
 ¿De qué va el quinto postulado? Lo enunciamos tal y como lo hizo Euclides: Se afirma que si dos segmentos de recta a y b en un plano cortan a otra línea recta c (de modo que c es lo que se denomina transversal a a y b) de tal forma que la suma de los ángulos interiores en el mismo lado de c es menor que dos ángulos rectos, entonces a y b, cuando se prolongan a suficiente distancia en ese lado de c, se cortarán en alguna parte.
Debido a lo largo que es este enunciado  y a lo "técnico" que es, durante 2000 años se pensó que se podía demostrar razonando a partir de los otos cuatro.
No se consiguió, aunque si se llegó a formulaciones equvalentes, como la de Playfair: para cualquier línea recta y para cualquier punto que no esté en dicha línea, existe una única línea recta que pasa por dicho punto y es paralela a la primera recta (véase la figura de más abajo). Aquí, rectas «paralelas» serían dos líneas rectas coplanares que no se cortan.

Penrose dice que a partir del quinto postulado se puede probar que existen cuadrados
y que el razonamiento dado  para probar el teorema de Pitágoras es válido

CONTINUARÁ______--------------TO BE CONTINUED-------------__________CONTINUARÁ