¿Qué es un tensor?

 

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LA IDEA DE TENSOR SEGÚN CHATGTP (añadido el 4 de Enero de 2025)

Un tensor es un concepto matemático que generaliza las ideas de escalar, vector y matriz, permitiéndonos describir relaciones y propiedades en sistemas más complejos, como fuerzas, deformaciones o campos físicos en múltiples dimensiones. Se usan mucho en física, ingeniería y matemáticas para trabajar con conceptos como la relatividad, la elasticidad y los campos electromagnéticos.

Para explicarlo de manera accesible, partamos de lo básico:

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1. Escalar (tensor de orden 0):

Un escalar es simplemente un número, como $5$, $3.14$ o $-7$. Describe algo que no tiene dirección, solo tamaño o magnitud.

Ejemplo:

• La temperatura en un punto del espacio, como "20°C", es un escalar.

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2. Vector (tensor de orden 1):

Un vector es un conjunto de números que indican una magnitud y una dirección. En un espacio tridimensional, podemos representar un vector como $(v_1, v_2, v_3)$.

Ejemplo:

• La velocidad de un coche que se mueve a 60 km/h hacia el noreste es un vector.

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3. Matriz (tensor de orden 2):

Una matriz es una tabla de números con filas y columnas. Representa relaciones más complejas, como las fuerzas en varias direcciones.

Ejemplo:

• Si un objeto está sometido a varias fuerzas en diferentes direcciones, usamos una matriz para describir cómo responde el objeto a estas fuerzas.

$$\text{Matriz: } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

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4. Tensor de orden 3 o superior:

Un tensor de orden superior se construye combinando vectores o matrices en formas más complejas. Piensa en un "cubo de números" (orden 3) o incluso una figura en más dimensiones (orden mayor).

Ejemplo:

• En física, un tensor de orden 3 puede describir cómo cambia la presión en un fluido en distintas direcciones y con el tiempo.

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¿Cómo se representan?

Un tensor se describe como una colección organizada de números (componentes) en diferentes dimensiones:

1. Un escalar tiene una sola componente: $5$.
2. Un vector en 3D tiene tres componentes: $(x, y, z)$.
3. Una matriz de $3 \times 3$ tiene nueve componentes: $$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$
4. Un tensor de orden 3 puede tener 27 componentes en un "cubo" tridimensional.

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Ejemplos prácticos:

1. Tensores en la física clásica:
   • Tensor de tensiones: Describe cómo se distribuyen las fuerzas en un sólido. Si pisas una tabla, el tensor describe cómo las fuerzas se transmiten dentro de la tabla.
2. Tensores en relatividad general:
   • Tensor métrico: Describe la forma del espacio-tiempo, esencial para entender cómo la gravedad afecta la luz y los objetos.
3. Tensores en imagen digital:
   • Una imagen en color se puede modelar como un tensor: cada punto tiene un valor para rojo, verde y azul (RGB).

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Por qué son importantes:

Los tensores permiten trabajar con relaciones en múltiples dimensiones. Son como un lenguaje universal para describir fenómenos complejos, desde la deformación de un puente hasta las ondas gravitacionales detectadas por LIGO.

¿Te gustaría que amplíe algún ejemplo en particular?

Me gustaría que escribieras la definición y las propiedades de los tensores pero no en general para luego poner ejemplos en espacios de dimensión 2 (n=2 . m=2) sino directamente en espacios de dimensión 2, tanto la definición como los enunciados de las propiedades

 

¡Entendido! A continuación, escribo la definición de tensores directamente en espacios vectoriales de dimensión 2, junto con las propiedades correspondientes, sin pasar primero por el caso general.

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Definición de tensor en espacios de dimensión 2

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión 2 sobre un cuerpo $K$ (como $K = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), con una base fija $\{e_1, e_2\}$. El espacio dual $V^*$, que contiene las formas lineales (funcionales lineales sobre $V$), tiene la base dual $\{e^1, e^2\}$, definida por $e^i(e_j) = \delta^i_j$ (delta de Kronecker).

1. Un tensor de tipo $(0, 0)$: Es un escalar, es decir, un número $a \in K$.

2. Un tensor de tipo $(1, 0)$: Es un vector en $V$, que se puede escribir como:

   $$v = v^1 e_1 + v^2 e_2,$$

   donde $v^1, v^2 \in K$ son las componentes del vector.

3. Un tensor de tipo $(0, 1)$: Es una forma lineal (elemento de $V^*$), que se escribe como:

   $$f = f_1 e^1 + f_2 e^2,$$

   donde $f_1, f_2 \in K$ son las componentes de la forma lineal.

4. Un tensor de tipo $(1, 1)$: Es una aplicación lineal de $V$ en sí mismo, que se representa en coordenadas como una matriz:

   $$T = \begin{bmatrix} T^1_1 & T^1_2 \\ T^2_1 & T^2_2 \end{bmatrix},$$

   donde $T^i_j \in K$ son las componentes del tensor.

5. Un tensor de tipo $(2, 0)$: Es una combinación lineal de productos tensoriales de vectores, expresada como:

   $$T = T^{11} e_1 \otimes e_1 + T^{12} e_1 \otimes e_2 + T^{21} e_2 \otimes e_1 + T^{22} e_2 \otimes e_2.$$

6. Un tensor de tipo $(0, 2)$: Es una combinación lineal de productos tensoriales de formas lineales:

   $$T = T_{11} e^1 \otimes e^1 + T_{12} e^1 \otimes e^2 + T_{21} e^2 \otimes e^1 + T_{22} e^2 \otimes e^2.$$

7. Un tensor de tipo $(2, 1)$: Es una combinación lineal de productos tensoriales de dos vectores con una forma lineal:

   $$T = \sum_{i,j,k} T^{ij}_k e_i \otimes e_j \otimes e^k.$$

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Propiedades de los tensores en dimensión 2

1. Linealidad:
   Los tensores son lineales en cada una de sus entradas. Si $T$ es un tensor de tipo $(1, 1)$, para $v, w \in V$ y $\alpha, \beta \in K$:

   $$T(\alpha v + \beta w) = \alpha T(v) + \beta T(w).$$

2. Transformación bajo cambio de base:
   Si se cambia la base del espacio $V$, las componentes del tensor se transforman de manera específica:

   • Las componentes contravariantes (índices superiores) se transforman según las coordenadas del nuevo sistema.
   • Las componentes covariantes (índices inferiores) se transforman según la base dual del nuevo sistema.

3. Simetría:
   Un tensor $T$ de tipo $(2, 0)$ es simétrico si $T^{ij} = T^{ji}$ para todos los índices $i, j$. Es antisimétrico si $T^{ij} = -T^{ji}$.

4. Contracción:
   Si $T$ es un tensor de tipo $(1, 1)$ en $V$, su traza es la contracción de sus índices:

   $$\text{Traza}(T) = T^1_1 + T^2_2.$$

   Esto produce un escalar (tensor de tipo $(0, 0)$).

5. Producto tensorial:
   Si $v \in V$ y $f \in V^*$, el producto tensorial $v \otimes f$ es un tensor de tipo $(1, 1)$, que actúa sobre $w \in V$ como:

   $$(v \otimes f)(w) = f(w) v.$$

6. Representación matricial:
   Un tensor de tipo $(1, 1)$ puede representarse como una matriz que transforma vectores. Si $T(v) = Av$, donde $A$ es una matriz de $2 \times 2$, entonces:

   $$A = \begin{bmatrix} T^1_1 & T^1_2 \\ T^2_1 & T^2_2 \end{bmatrix}.$$

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¿Te gustaría que desarrolle ejemplos concretos de estas propiedades en un contexto físico o geométrico?

 ¿Hay tensores de tipo (3,2) cuando estamos en un espacio vectorial de dimensión 2 ? Si los hay ponme un par de ejemplos

 

¡Sí, existen tensores de tipo $(3, 2)$ en un espacio vectorial de dimensión 2! La definición no depende de la dimensión del espacio, aunque la cantidad de componentes del tensor sí está limitada por ella.

Definición de tensores de tipo $(3, 2)$

Un tensor de tipo $(3, 2)$ en un espacio vectorial $V$ de dimensión 2 es un elemento del espacio:

$$T^3_2(V) = V \otimes V \otimes V \otimes V^* \otimes V^*,$$

donde:

• $V$ es el espacio original (vectorial).
• $V^*$ es el espacio dual (formas lineales).

En coordenadas, un tensor de tipo $(3, 2)$ se escribe como:

$$T = \sum_{i, j, k, p, q} T^{ijk}_{pq} \, e_i \otimes e_j \otimes e_k \otimes e^p \otimes e^q,$$

donde:

• $i, j, k, p, q \in \{1, 2\}$,
• $T^{ijk}_{pq} \in K$ son las componentes del tensor en la base $\{e_1, e_2\}$ de $V$ y su base dual $\{e^1, e^2\}$.

Un tensor de tipo $(3, 2)$ toma como entrada dos formas lineales (elementos de $V^*$) y devuelve un vector de $V$ en cada una de las tres copias de $V$.

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Número de componentes

En un espacio vectorial de dimensión 2:

• Hay $2^3 = 8$ combinaciones posibles para los índices superiores $(i, j, k)$.
• Hay $2^2 = 4$ combinaciones posibles para los índices inferiores $(p, q)$.

Por lo tanto, un tensor de tipo $(3, 2)$ tiene $8 \cdot 4 = 32$ componentes independientes.

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Ejemplos de tensores de tipo $(3, 2)$

1. Tensor de tipo $(3, 2)$ definido por combinaciones específicas:

Supongamos que el tensor está definido por:

$$T^{ijk}_{pq} = \begin{cases} 1, & \text{si } i = j = k \text{ y } p = q, \\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases}$$

En coordenadas explícitas, esto significa que las únicas componentes no nulas son:

$$T^{111}_{11} = 1, \quad T^{222}_{22} = 1.$$

Este tensor puede interpretarse como un operador que "concentra" la acción sobre las entradas que tienen la misma dirección.

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2. Tensor de tipo $(3, 2)$ con una dependencia más general:

Sea $T$ definido por:

$$T^{ijk}_{pq} = i + j - p.$$

Por ejemplo:

• Para $i = 1, j = 2, k = 2, p = 1, q = 2$: $$T^{122}_{12} = 1 + 2 - 1 = 2.$$
• Para $i = 2, j = 1, k = 1, p = 2, q = 1$: $$T^{211}_{21} = 2 + 1 - 2 = 1.$$

El tensor $T$ tiene valores asignados según una regla específica, que puede usarse en aplicaciones dependiendo del problema físico o geométrico.

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Interpretación práctica

Aunque los tensores de tipo $(3, 2)$ pueden parecer abstractos, aparecen en problemas avanzados, como:

• Física de fluidos: Cuando se modelan interacciones complejas entre tensiones en diferentes direcciones.
• Relatividad general: En problemas relacionados con el transporte de energía-momento en sistemas multidimensionales.

¿Te gustaría que calculemos algo específico con uno de estos tensores?

 

Sigue leyendo en este enlace para ver la continuación y para ver bien TODAS las fórmulas

https://parafernaliasviendolasformulas.blogspot.com/2025/01/que-es-un-tensor.html 

 

 

El camino a la gravedad cuantica (en inglés)

El autor
https://www.hi.is/staff/fernandez

https://mappingignorance.org/author/daniel-fernandez/
Enlaces a los articulos(escritos en ingles)

La acción y el principio de mínima acción

Varios videos divulgaatiivos

+60 y sigo recapitulando.: Gottfried Wilhelm Leibniz (CONCEPTO DE ENERGIA)

+60 y sigo recapitulando.: Gottfried Wilhelm Leibniz (CONCEPTO DE ENERGIA): Gottfried Wilhelm Leibniz     ( Gottfried Wilhelm von Leibniz ; Leipzig, actual Alemania, 1646 - Hannover, id., 1716) Filó...

 

https://journals.openedition.org/cultura/1998 

 

http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte4/Cap15/Capitulo_15.htm 

 

Spinoza y Leibniz

https://www.youtube.com/watch?v=Id0PiSvuvSc 

 

 

 

Cielos despejados: El Modelo Estándar para dummies

Enlaces a explicaciones sobre el modelo estándar

Relatividad y mecánica cuántica

Ésta entrada está en construcción, Es un simple boceto