Parafernalias Matemáticas: Topología para los números naturales

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La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.¹ Es una disciplina que estudia las propiedades de losespacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo deconsistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad,metricidad o metrizabilidad, entre otros.

Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—.

Continuar leyendo en https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa#Topolog.C3.ADa_General_o_Conjuntista

1) Primero estudiemos la topología "conjuntista" en general y después pasamos al caso X=N
http://www.uam.es/otros/openmat/cursos/topo/topo.html#Material_de_lectura

Un curso de topologia conjuntista
http://eva.universidad.edu.uy/course/view.php?id=2935

https://www.ehu.eus/~mtwmastm/topo20132014.pdf

Libro clásico para estudiar topología general

https://psm73.files.wordpress.com/2009/11/topologia-munkres.pdf

Topología aplicada a la economía
https://www.academia.edu/898045/Elementos_de_topolog%C3%ADa_y_de_la_teor%C3%ADa_de_conjuntos_en_la_teor%C3%ADa_del_equilibrio_general

2) Ahora nos centramos en la topología para números naturales.

En el conjunto de los números naturales, o en el de los enteros, se pueden definir varias topologías, por ejemplo, la topología discreta o la cofinita, que se pueden definir en un amplio número de conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_cofinita

Sin embargo, existe una topología para los números naturales, más específica, aunque hay versiones para números naturales y para números enteros.
Esta topología es popular porque gracias a ella se puede dar una demostración topológica de la infinitud de los números primos.
http://gaussianos.com/demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/

De momento sólo van enlaces a sitios donde se expone parte de la teoría
http://topologia-i.blogspot.com.es/2009/01/demostracin-topolgica-de-la-infinitud.html
http://www.uaq.mx/ingenieria/publicaciones/eureka/n11/en1104.pdf