Problema de Teoría de Grupos

 Todo grupo de orden 9 es abeliano

 Enunciado: Si G es un grupo con 9 elementos, entonces es abeliano

Prueba: 

1) Si existe $a\in{G}$ tal que $a\neq 1 $ y el grupo cíclico generado por $a$ (que se denota $\left<{a}\right>$ )  coincide con G, o sea, $ \left<{a}\right> = G  $, entonces el grupo considerado es cíclico y por tanto conmutativo.

2) Por tanto suponemos que no hay ningún elemento de orden 9, y como el orden de cada elemento es divisor del orden del grupo, pues todos los elementos tienen orden 3 (excepto el 1 (que estamos llamando así al elemento neutro)).

Ahora vamos a razonar por reducción al absurdo

3) Supongamos un elemento no identidad, x,  y otro elemento no identidad y tal que $ y\in{G-\left<{x}\right>} $ . Ambos serán elementos de orden tres. Entonces los elementos de G son de la forma $ x^i y^j $ con $ i,j \in{\{0,1,2\}}  $   

Explícitamente, los elementos de G son $ x^0 y^0 ,\,x^0 y^1 , \,x^0 y^2 ,\,x^1 y^0 , \,x^1 y^1 ,\,x^1 y^2 ,\,x^2 y^0 , \,x^2 y^1 , \, x^2 y^2 $ 

Hay que notar que son nueve elementos. Veremos que son diferentes entre sí, para probar que esa es la enumeración eplícita de G

Supongamos que $ x^{i_1} y^{j_1} = x^{i_2} y^{j_2} $  entonces $x^r =y^s$ , con $r=i_1 - i_2$ y $s=j_2 - j_1$, lo cual bajo nuestras hipótesis significa que $x=y^2$ o bien que $y=x^2$ que contadicen que $ y\in{G-\left<{x}\right>} $ .  Por tanto son todos diferentes.

Ahora consideramos yx. Si se cumple que yx = xy, ya tenemos que el grupo sea abeliano.

Vamos a estudiar tres casos: Casos \begin{cases}{1)\, yx=x^2 y}&\text{primer  caso}\\2) \,yx=xy^2  & segundo\ caso\\3) x^2 y^2 & \ tercer \, caso\end{cases}

Hay que estudiar caso y llegar a una contradicción en cada uno de ellos

Esta demostración es "elemental" pero es fea y tediosa

¿Cual sería el "enfoque estándar" usando más teoría de grupos?

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier p -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2 $ es abeliano. Si no, elige un elemento a no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y a , por lo que tiene al menos p+1 elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que a está en el centro, una contradicción 

Y aquí habría acabado en el caso de que tenga fuerzas para copiar la demostración "elemental"

Para entender lo otro, tenfo que  repasar

He usado: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

 

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

 Páginas de apoyo:

http://abstract.ups.edu/aata-es/sets-references.html 

http://abstract.pugetsound.edu/ 

https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Grupos_finitos_de_orden_bajo 

 

 

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

 

 

El enfoque estándar es utilizar la ecuación de clase para demostrar que cualquier $p$ -tiene un centro no trivial. A partir de ahí, es fácil demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano. Si no, elige un elemento $a$ no en el centro y mira su centralizador. Esto incluye el centro y $a$ , por lo que tiene al menos $p+1$ elementos; de ahí que sea todo el grupo de Lagrange; de ahí que $a$ está en el centro, una contradicción

Fuente: https://www.i-ciencias.com/pregunta/53739/-aproximacion-elemental-para-demostrar-que-un-grupo-de-orden-9-es-abeliano-

Vamos a poner varias páginas de apoyo

http://abstract.pugetsound.edu/

http://abstract.ups.edu/aata-es/section-note-on-proofs.html 

https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Grupos_finitos_de_orden_bajo