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lunes, 20 de junio de 2016

Problema escolar

Ennciado
Dos números consecutivos  $n$ y $n+1$ se elevan al cuadrado. Se elimina de cada cuadrado la cifra de las unidades obteniéndose los números $a_n$ y $a_{n+1} $ .
Se trata de ver cómo es la sucesión $b_n = a_{n+1} - a_n$



Conjetura:  Teniendo en cuenta que $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$  la respuesta podría ser que $b_n$ es el resultado de redondear $2n+1$ a las decenas y suprimir la cifra de las unidades.

Por ejemplo, para  $n=133$ tendríamos  que $ 2n+1=267$ . Redondeando a las decenas, tenemos 270 y suprimiendo la cifra de las unidades 27

Si hacemos los cálculos tal y como dice el enunciado $133^2 = 17689$ que nos lleva a $a_{133} = 1768$  y $134^2 = 17956$ que nos da $a_{134} = 1795$. La diferencia $1795 - 1768 = 27$

Vemos que en el ejemplo se cumple y creo que en los primeros veinte naturales también.

Queda pendiente demostrar la conjetura

REFORMULACIÓN DEL PROBLEMA:
Con el mismo enunciado del problema anterior, comprobamos que la sucesión $ a_n    -   b_n $  empezando con n=1  es 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2,  3, 3, 3,  4, 4, 4, 4......
¿Sigue siempre esta secuencia de tres números iguales, luego 4 números iguales, luego otros tres iguales... ?
Esta es la conjetura que hay que comprobar o refutar y, en su caso, demostrar

En el siguiente enlace se expone la conjetura y se dan pistas para su solución
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89402.0;topicseen

Bueno, en realidad, a mi modo de ver en e, enlace anterior hay una discusión completa del problema y la demostración de Carlos Ivorra me parece definiiva


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