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sábado, 4 de noviembre de 2017

Función característica: artilugio para demostrar igualdades entre conjuntos

La función característica de un conjunto se define: $1_A (x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in{A}\\ 0 & \text{si}& x\notin{A}\end{cases}$
Veamos la utilidad que tiene esta función para probar si son ciertas o falsas determinadas igualdades entre conjuntos

 La utilidad  de la función característica se basa en que $1_A =1_B \Leftrightarrow{A=B}$
Antes de seguir, comento que toda esta primera parte está sacada de
 http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/19/funcion-caracteristica/
Vamos a probar la afirmación anterior
Primera parte: ${1_A = 1_B}\Rightarrow{A=B}$
Si $x\in{A}$ entonces $1_A (x) =1 $ .Por hipótesis $1_A = 1_B $ , luego $1_B (x) = 1 $ , lo cual implica que $ x \in{B} $. Esto prueba que $ A\subseteq B $
Con un razonamiento análogo, intercambiando los papeles de A y B, se obtiene que $B\subseteq A $
De ambas inclusiones se deduce que $A=B$
Segunda parte:$A = B  \Rightarrow{1_A = 1_B}$
Por hipótesis $A=B$ . Si  $x\in{A}=B$ entonces $1_A (x) = 1_B (x) =1$.
Si $x\notin{A=B}$ entonces $1_A (x) = 1_B (x) =0$ .
Esto prueba que para todo $x\in{U}$ se cumple que $1_A (x) = 1_B (x) $
(Aclaración: $U$ es el conjunto universal del que forman parte todos los conjuntos con los que estamos trabajando).
Por tanto $1_A = 1_B $


Vamos a probar unas cuantas propiedades:

Antes de ver la primera prpiedad, definimos complementario de A como el conjuntos de todos los  elementos del universo en el que trabajamos que no son elemementos de A
$A^c = \{ x\in U / x\notin A \}$
La propiedad que primero vamos a probar se enuncia: $ 1_{A^c} = 1 - 1_A $

Prueba:
Para cualquier elemento x del universo $U$ en el que estamos trabajando, y fijado un subconjunto arbitrario $A$ de ese universo,  sólo hay dos posibilidades: o bien $x\in A$  o bien (excluyentemente) $x \notin A$
Supongamos que $x\in A$ . Entonces $x\notin A^c $ y se cumple $1_A (x) =1$  y  $ 1_{A^c} (x)=0 $
Por tanto en este caso $1_A (x) = 1 =1 -0 = 1 - 1_{A^c} (x) $
Supongamos que $x\notin A$ . Entonces $ x\in A^c $ y por tanto $ 1_A (x) = 0 = 1 - 1 = 1 - 1_{A^c} (x) $
Hemos llegado a la conclusión de que para cualquier x del universo en que estamos trabajando se cumple que $ 1_A^c  (x) = 1 - 1_A (x) $ , lo cual equivale a la igualdad entre funciones $ 1_A^c = 1 - 1_A $

Otra propiedad: $ 1_{A\cap B} = 1_A \cdot 1_B $
Hay que estudiar todos los casos posibles:
 $x\in A $ y $x\in B $ . Entonces $x \in A \cap B$ y admás $1 _A (x) = 1_B (x) =1_{A \cap B} (x) = 1$ y se cumple la fórmula.


$x\in A $ y $x\notin B $ . Entonces $x \notin A \cap B$  y se cumple $1_{A \cap B} (x)=0 = 1 \cdot 0 = 1_A (x) \cdot 1_B (x) $

$x\notin A $ y $x\in B $ . Se razona igual, intercambiando los papeles de A y de B

$x\notin A $ y $x\notin B $. Todas las funciones características son cero y es cierta en este caso la fórmula.

Por tanto, para cualquier elemmento x del universo en el que estamos trabajando se cumple $1_{A \cap B} (x) = 1_A (x) \cdot 1_B (x) $ lo cual nos dice que es cierta la igualdad entre funciones
$ 1_{A\cap B} = 1_A \cdot 1_B $

Otra propiedad:  $1_{A \cup B} = 1_A +1_B - 1_A \cdot 1_B $
Prueba: Hay que estudiar todos los casos posibles, que son cuatro:
$x\in A $ y $x\in B $ . Entonces $1_{A\cup B} (x) = 1 _A (x) = 1_B (x) =1 $ y se cumple $ 1_{A\cup B} (x) = 1 =1+1 - 1 \cdot 1 = 1_A (x) + 1_B (x) -  1_A (x) \cdot 1_B (x) $

$x\in A $ y $x\notin B $ . Entonces $1_{A\cup B} (x) =1$ , $1_A (x) =1 $ y $ 1_B (x) =0 $ y vemos que se cumple la fórmula $ 1_{A\cup B} (x) =1 = 1+0 - 1 \cdot  0 = 1_A  (x) + 1_B  (x) - 1_A  (x) \cdot  1_B  (x) $


$x\notin A $ y $x\in B$ . Se razona igual, intercambiando los papeles de A y B

$x \notin A $ y $x\notin B$ . En este caso las funciones características son todas cero y se cumple la fórmula.

Hemos visto que en todos los casos posibles se cumple $1_{A\cup B } (x)=1_A (x) + 1_B (x) - 1_A (x) \cdot 1_B (x)$ y eso prueba la igualdad entre funciones $1_{A \cup B} = 1_A +1_B - 1_A \cdot 1_B $



De manera similar se prueban otras propiedades:

$1_{A\cup B} = 1_A  + 1_B - 1_A \cdot 1_B $
Demostración:
Para un elemento cualquiera x que pertenezca al universo en el que trabajamos, sólo hay dos posibilidades, que pertenezca a la unión de A con B o que no pertenezca.
Si $x\in{A\cup B}$ entonces se cumple que $1_{A\cup B}=1$ y pueden ocurrir los siguientes casos:
$x\in{A}$ y $x\in{B}$ entonces $1_A (x) +1_B ) - 1_A (x) \cdot 1_B (x)= 1+1-1\cdot{1}=1+1-1=1$
Por otra parte, si $x\in{A}$ y $x\notin{B}$ entonces $ 1_A (x) +1_B (x) - 1_A (x)\cdot{1_B (x)}=1+0-1\cdot{0}=1+0-0=1$

De la misma manera se razona en el caso en que x no pertenezca a  A  pero sí que pertenezca a B , se razona igual para llegar a la misma conclusión

               $ 1_A (x) + 1_B (x) -1_A (x )\cdot 1_B  (x)=0+1- 0=1  $


En el caso de que $ x\notin{A\cup B} $ , entonces se cumple que $ x\notin A $ y que $ x\notin B  $ y por tanto se cumple que $ 1_{A\cup B} =0 $ y tambien que $ 1_A (x) = 1_B (x) =0 $ y en consecuencia
 $ 1_{A \cup B} (x)= 1_A (x) + 1_B(x) - 1_A(x) \cdot{1_B (x)=0} $
Por tanto queda acreditado que para cualquier valor de x se cumple
 $ 1_{A \cup  B} (x)= 1_A (x) + 1_B (x) - 1_A(x)\cdot 1_B (x) $, lo cual es lo mismo que decir que
$ 1_{A \cup B} = 1_A + 1_B - 1_A \cdot 1_B $

Ahora vamos a las propiedades más interesantes, de cara a dotar al conjunto de los subconjuntos de un conjunto universal en el que trabajamos, de estructura de grupo, con una operación que se llama "diferencia simétrica"
 =
Se define la diferencia de dos conjuntos A y B como el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B
$ A - B = \{x \in A / x \notin B \} $

La propiedad que vamos a probar es  $ 1_{A - B} = 1_A \cdot (1 - 1_B ) $
Demostración:
$ 1_{A - B} = 1_{A \cap B^c} = 1_A \cdot 1_{B^c} = 1_A \cdot (1 - 1_B ) $  cqd

Hasta aquí hemos descrito propiedades de la función caracterísica de un conjunto que pueden ser usadas para probar determinadas igualdades entre conjuntos.
En próximas entradas continuaremos  con el asunto




















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