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domingo, 5 de noviembre de 2017

La diferencia simétrica y la función característica

En esta entrada usamos la función característica para probar determinadas igualdades entre conjuntos, llegando al final a probar la asociatividad de la diferencia simétrica

Empezamos.
Ahora definimos la diferencia simétrica $ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) $
Vamos a probar que $ 1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B  - 2 \cdot 1_A  \cdot 1_B $
Demostración: Es fácil, pero larga. Se trata de desarrollar hasta llegar a la fórmula propuesta, aplicando las propiedades anteriores
$ 1_{A \Delta B} = 1_{(A - B) \cup (B - A ) }
 = 1_{A - B} + 1_{B - A } -  1_{A - B} \cdot 1_{B -A} = $

 $ 1_A \cdot (1 - 1_B) + 1_B \cdot (1 - 1_A) - 1_A \cdot (1 - 1_B) \cdot 1_B \cdot (1 - 1_A) $

$ = 1_A  - 1_A \cdot 1_B + 1_B - 1_B \cdot 1_A - [1_A - 1_A \cdot 1_B ] \cdot [1_B - 1_B  \cdot 1_A ]  $

La icadena de igualdades continúa ,pero, para simplificar la notación, a partir de ahora en lugar de $ M \cdot N $ escribiremos sencillamente $ M N $ . Así pues la cadena de igualdades sigue de la siguiente manera:

 $$  1_A  +  1_B  -  2 \cdot { 1_A}   1_B  -  1_A  1_B   + 1_A  1_B   1_A  -  1_A  1_B  1_B  +  1_A   1_B  1_B  1_A  $$

Ahora tenemos que tener en cuenta que  $ 1_M \cdot 1_M = 1_M $ siendo M cualquier conjunto.
Por eso podemos seguir la cadena de desigualdades, teniendo en cuenta esto
$ = 1_A -1_A \cdot 1_B + 1_B -1_B \cdot 1_A -1_A \cdot 1_B + 1_A \cdot 1_B + 1_A \cdot 1_B - 1_A \cdot 1_B $ = $ 1_A + 1_B -2 \cdot 1_A \cdot 1_B  $  cqd

La verdad es que las pruebas anteriores hubieran sido más sencillas si hubiésemos usado el siguiente resultado:
Si A y B son disjuntos, es decir, $A\cap B = \emptyset $ ,  entonces $1_{A\cup B} = 1_A + 1_B $ .
Entonces como $A - B$ y $B - A $ son disjuntos, entonces es más fácil llegar a la fórmula para $1_{A\Delta B}$

Nos queda por abordar las demostradión de que la diferencia simétrica es asociativa, es decir,
$A\Delta (B\Delta C) = (A\Delta B)\Delta C $

Antes de empezar diremos que la prueba está en vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE 
y por escrito:
 http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/

https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE


Ya hemos visto que  $ 1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B  - 2 \cdot 1_A  \cdot 1_B $
Vamos a desarrollar la función característica de $ A\Delta (B\Delta C) $
Llamamos $ H = B \Delta C $ con lo cual $ A\Delta (B\Delta C) = A\Delta H $
Según lo que hemos probado
, $ 1_H = 1_B + 1_C - 2\cdot 1_B  1_C $ , y también $ 1_{A\Delta (B\Delta C)} $
Sigue la cadena de igualdades
$ = 1_{A\Delta H } = 1_A + 1_H - 2\cdot 1_A 1_H $
Ahora sustituimos una igualdad en otra y obtenemos
 $ 1_A + 1_B + 1_C - 2\cdot 1_B 1_C -2\cdot 1_A (1_B + 1_C - 2\cdot 1_B 1_C)=

 1_A + 1_B + 1_C - 2 (1_B 1_C + 1_A  1_B + 1_A 1_C ) +4\cdot 1_A 1_B 1_C $

Ahora  desarrollamos $1_{(A\Delta B)\Delta C} $
Repetimos los pasos del caso anterior $ K = A\Delta B $ , y entonces
$1_K = 1_A + 1_B  - 2\cdot 1_A  1_B $
Por otra parte 
 $1_{(A\Delta B)\Delta C} = 1_{ K\Delta C}  $ , y $ 1_{(A\Delta B) \Delta C }= 1_{K\Delta C} =
1_K + 1_C -2\cdot 1_K  1_C$








Sustituimos una igualdad en otra para obtener:
$ 1_A + 1_B  + 1_C - 2\cdot 1_A  1_B  - 2\cdot (1_A + 1_B - 2 \cdot 1_A  1_B )\cdot 1_C =
1_A + 1_B + 1_C - 2 (1_A  1_B +1_A 1_C + 1_B 1_C) + 4\cdot 1_A  1_B   1_C  $L

Llegamos a la misma expresión que antes  y aplicando que $ 1_M = 1_H \Longleftrightarrow{M=H} $ , al se iguales $ 1_{A\Delta (B\Delta C )} = 1_{(A\Delta B)\Delta C} $  concluimos que
$ A\Delta (B\Delta C) = (A\Delta B)\Delta C $













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