Ontología de los entes matemáticos
1) Filosofía de las matemáticas
La filosofía de las matemáticas es una rama de la filosofía que se pregunta por la naturaleza, los fundamentos y el estatus ontológico (es decir, su existencia) y epistemológico (es decir, cómo los conocemos) de los entes matemáticos.
Un tema central en esta disciplina es la ontología de los entes matemáticos , es decir: ¿Existen los objetos matemáticos como los números, conjuntos, funciones o espacios? Y si existen, ¿cómo lo hacen?
Vamos a explorar las principales posiciones filosóficas sobre este tema:
1. Platonismo matemático
- Tesis principal : Los entes matemáticos existen independientemente de nosotros, son abstractos, acausales, eternos e inmutables.
- Ejemplo : Para un platónico, el número 2 existe en un reino abstracto de entidades matemáticas, igual que existen los "formas" o "ideas" en la filosofía de Platón.
- Problema clave : ¿Cómo podemos conocer algo que no está en el mundo físico ni interactúa con él?
Este punto de vista tiene fuertes defensores históricos, como Gottlob Frege , y también contemporáneos como Roger Penrose o Kurt Gödel (quien defendía una intuición matemática similar a la percepción sensorial).
2. Nominalismo
- Tesis principal : Los entes matemáticos no existen realmente; son construcciones lingüísticas, conceptuales o ficciones útiles.
- Variantes :
- Nominalismo constructo : Las matemáticas son invenciones humanas, herramientas para describir el mundo.
- Ficcionalismo : Tratamos los objetos matemáticos como si existieran, pero en realidad son ficciones útiles, como los personajes de una novela.
- Ejemplo: Hartry Field ha argumentado que se pueden reformular teorías físicas sin recurrir a entidades matemáticas.
3. Formalismo
- Tesis principal : Las matemáticas son meros juegos simbólicos basados en reglas formales.
- Representante histórico : David Hilbert
- Implicación ontológica : No hay objetos matemáticos "reales", solo símbolos manipulados según reglas.
4. Intuicionismo / Constructivismo
- Tesis principal : Los objetos matemáticos no existen independientemente de nuestra construcción mental de ellos.
- Representante : L.E.J. Brouwer
- Consecuencia : Solo aceptan como verdaderas aquellas afirmaciones matemáticas que puedan ser construidas explícitamente.
- Rechazo : Rechazan principios clásicos como el tercero excluido ("una proposición es verdadera o falsa") si no hay una forma efectiva de decidirlo.
5. Empirismo matemático
- Tesis principal : Las matemáticas tienen un fundamento empírico, derivado de la experiencia del mundo físico.
- Defensor destacado : John Stuart Mill
- Criticado por : Muchos lo consideran insuficiente, ya que las matemáticas parecen tener una necesidad lógica que va más allá de lo observable.
6. Naturalismo y confirmacional holismo
- Tesis principal : Como parte de una visión científica del mundo, debemos aceptar la existencia de entidades matemáticas porque son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.
- Defensores : Willard Van Orman Quine , Hilary Putnam
- Argumento de indispensabilidad : Si la ciencia necesita números, conjuntos, etc., para explicar el mundo, entonces tenemos que aceptarlos como parte de nuestra ontología.
7. Enfoque estructuralista
- Tesis principal : Lo importante no son los objetos matemáticos en sí mismos, sino las estructuras o relaciones en las que participan.
- Ejemplo : El número 3 no es interesante en sí mismo, sino por su lugar en la estructura de los números naturales.
- Tipos :
- Ante-estructuralismo : Los objetos existen antes que las estructuras.
- Intra-estructuralismo : Los objetos solo tienen identidad dentro de una estructura.
- Pos-estructuralismo : Las estructuras son lo fundamental.
Conclusión
La ontología de los entes matemáticos sigue siendo un tema abierto y profundamente discutido. No hay consenso, pero cada posición intenta responder a preguntas fundamentales como:
- ¿Existe el número π independientemente de nosotros?
- ¿Cómo es posible que podamos conocer cosas que no están en el espacio-tiempo?
- ¿Son las matemáticas descubiertas o inventadas?
Dependiendo de la respuesta que des, puedes inclinarte hacia una u otra corriente filosófica.
El filósofo español Gustavo Bueno tiene una posición original y muy interesante sobre la ontología de los entes matemáticos , dentro del marco general de su materialismo filosófico o lo que él llama "materialismo ontológico" .
Su visión se aparta tanto del platonismo como del formalismo, y propone una interpretación concreta y objetiva de las matemáticas, entendidas como ciencias cuyos objetos existen, pero no de manera abstracta o trascendente, sino en el seno de sistemas materiales reales. Vamos a desglosarlo:
2) Visión de Gustavo Bueno sobre las matemáticas
1. Las matemáticas son ciencias fácticas, no formales
Contrario a lo que sostiene el formalismo (que ve las matemáticas como meros juegos simbólicos sin contenido factual), Bueno defiende que las matemáticas tienen un contenido objetivo y factual. No se limitan a manipular símbolos vacíos: estudian estructuras que pueden realizarse en sistemas materiales concretos.
"Las matemáticas no son ciencias formales, sino ciencias fácticas que estudian hechos estructurales".
2. Los entes matemáticos existen, pero de manera "tópica"
Bueno introduce una noción clave: los entes matemáticos existen de manera tópica , es decir, no existen independientemente de los sistemas materiales , ni tampoco son puras ficciones mentales o lenguaje.
La existencia matemática es una forma específica de existencia dentro de configuraciones materiales que cumplen determinadas condiciones estructurales.
Bueno usa "tópico" para referirse a la existencia de entidades matemáticas en sistemas materiales concretos, no en un mundo abstracto
Por ejemplo:
- El número 2 no existe en un mundo platónico, sino que es una propiedad que puede realizarse en muchos sistemas concretos (dos manzanas, dos electrones, dos puntos).
- La recta geométrica no es una abstracción pura, sino una estructura que puede realizarse en cuerpos físicos idealizados (como hilos tensos, rayos de luz, etc.).
3. Ontología de los entes matemáticos según Bueno
Bueno distingue entre entidades primeras (como piedras, átomos) y entidades segundas (como las matemáticas). Los entes matemáticos pertenecen a esta segunda categoría: no son sustancias, sino modos de ser de sistemas materiales complejos .
Es decir:
- Las matemáticas no estudian cosas "por sí mismas", sino estructuras internas de sistemas materiales .
- Los números, conjuntos, funciones, etc., no son ideas ni ficciones, sino realidades objetivas , aunque no sean (sustancias independientes).
4. Crítica al platonismo y al intuicionismo
- Al platonismo : Rechaza la idea de que los entes matemáticos existan en un mundo abstracto e inmaterial. Para Bueno, eso es metafísica vacía.
- Al intuicionismo : Critica que reduce las matemáticas a construcciones mentales subjetivas. Él insiste en que las matemáticas tienen una objetividad real, aunque no sea material en sentido estricto.
5. Ejemplo: ¿Qué es un número?
Para Bueno, un número no es una cosa en sí mismo , sino una propiedad o una relación que emerge en sistemas materiales cuando estos se organizan de cierta manera.
Por ejemplo:
- El número 3 aparece cuando en un sistema (por ejemplo, un conjunto de mesas) hay tres unidades distinguibles.
- Pero este número no está "fuera" del sistema ni es solo una etiqueta mental; es una determinación objetiva del sistema mismo , desde cierto punto de vista estructural.
🧠 En resumen: Posición de Gustavo Bueno sobre los entes matemáticos
3) ¿Qué diría Hegel?
Para Hegel, todo conocimiento se desarrolla a través de un proceso dialéctico: . Este proceso refleja la evolución del "Espíritu Absoluto" (la razón universal) hacia una comprensión total de sí mismo. Aplicado a las matemáticas:
- Las matemáticas no son estáticas ni trascendentales , sino que forman parte de un proceso dinámico de autoconocimiento del Espíritu .
- Los objetos matemáticos (números, figuras, estructuras) no existen en un reino abstracto (como en el platonismo), sino que son momentos históricos en la evolución de la conciencia racional.
Hegel rechazaría la idea de que los entes matemáticos existen independientemente del pensamiento humano o divino. Para él:
- La realidad es racional , y la razón humana (como manifestación del Espíritu) descubre las estructuras lógicas que subyacen al mundo.
- Los números o las formas geométricas no son "ideas" eternas, sino manifestaciones de la dialéctica interna de la razón . Por ejemplo:
- El número 1 surge de la unidad, pero implica su opuesto, la multiplicidad , y se supera en conceptos como el infinito (síntesis).
- La recta y la curva no son entidades fijas, sino momentos en la dialéctica de la extensión y la continuidad.
- El número 1 surge de la unidad, pero implica su opuesto, la multiplicidad , y se supera en conceptos como el infinito (síntesis).
- La recta y la curva no son entidades fijas, sino momentos en la dialéctica de la extensión y la continuidad.
Rechazo del formalismo y el empirismo:
- Formalismo : Hegel criticaría la visión de las matemáticas como meros juegos simbólicos (como Hilbert). Para él, los símbolos matemáticos no son arbitrarios, sino que expresan relaciones racionales objetivas que el Espíritu descubre progresivamente.
- Empirismo : También rechazaría la idea de que las matemáticas derivan de la experiencia sensorial (como Mill). Para Hegel, la experiencia es solo el punto de partida, pero el conocimiento matemático requiere elevarse a la abstracción racional .
Hegel y el intuicionismo:
Aunque el intuicionismo de Brouwer (rechazar el infinito actual y priorizar la construcción mental) tiene cierta sintonía con la idea hegeliana de que el conocimiento es un proceso, Hegel iría más allá:
- No se limitaría a la intuición individual , sino que vería las matemáticas como el desarrollo colectivo del Espíritu objetivo (la cultura y las ciencias de una sociedad).
- Para Hegel, incluso lo que parece subjetivo (como la intuición matemática) está mediado por la historia y la dialéctica social.
La matemática como expresión de la "Idea absoluta"
En la Enciclopedia de las Ciencias Filosóficas , Hegel sitúa a las matemáticas en el nivel de la "Lógica objetiva" , como parte del camino hacia la "Idea absoluta" (el conocimiento completo de la realidad).
- Las matemáticas estudian la cantidad y la forma , pero estas son solo aspectos parciales de la totalidad racional del mundo.
- La verdadera realidad no es matemática en sí misma, sino que las matemáticas son una herramienta para aproximarse a la Idea absoluta mediante la abstracción.
6. Ejemplo: ¿Qué diría Hegel del número π?
- No es una "idea" eterna en un mundo platónico, ni un mero símbolo formal.
- Es un momento dialéctico en la comprensión de la relación entre lo recto y lo curvo, entre lo finito y lo infinito.
- Su irracionalidad y transcendencia no son defectos, sino manifestaciones de la complejidad racional que el Espíritu debe superar en su proceso de autocomprensión.
7. Conclusión: Hegel y la pregunta central
Si le preguntáramos a Hegel:
¿Existen los entes matemáticos? ¿Son descubiertos o inventados?
Su respuesta sería:
Los entes matemáticos son momentos históricos en la dialéctica del Espíritu Absoluto. No existen independientemente de la razón, pero tampoco son puras invenciones: son descubrimientos parciales de una racionalidad objetiva que se desarrolla a través del tiempo.
4) ¿Qué diría Kant del estatuto ontológico de los entes matemáticos?
La filosofía de Immanuel Kant sobre las matemáticas es un pilar central de su sistema trascendental y se desarrolla principalmente en su obra Crítica de la razón pura (1781). Kant ofrece una respuesta original y compleja a la pregunta por el estatus ontológico de los objetos matemáticos (números, figuras, etc.), que combina elementos del idealismo y el realismo. Vamos a desglosarlo:
1. Las matemáticas son juicios sintéticos a priori
Kant parte de una distinción clave entre tipos de juicios:
- Juicios analíticos : La verdad depende de la relación entre conceptos (ej.: "Un soltero es no casado"). Son tautológicos y no añaden información nueva.
- Juicios sintéticos : Añaden información nueva, basada en la experiencia (ej.: "El agua hierve a 100°C").
- Juicios sintéticos a priori : Son universales, necesarios y no dependen de la experiencia. Para Kant, las matemáticas pertenecen a esta categoría .
Ejemplo : La proposición "7 + 5 = 12" no se deduce analíticamente de los conceptos de 7 y 5; requiere una construcción mental en el tiempo (como contar con los dedos o imaginar puntos). Esto la convierte en un juicio sintético a priori.
2. El papel de las formas puras de la sensibilidad: espacio y tiempo
Kant argumenta que nuestra mente no percibe el mundo tal como es ("cosa en sí"), sino a través de estructuras cognitivas innatas. Estas estructuras son:
- El espacio , como forma pura de la intuición externa (para la geometría).
- El tiempo , como forma pura de la intuición interna (para la aritmética).
Implicación ontológica :
- Los objetos matemáticos (números, figuras geométricas) no existen independientemente de la mente , pero tampoco son puras ficciones. Su existencia está ligada a cómo la mente estructura la experiencia.
- Por ejemplo, una línea recta no es una "idea" platónica ni un objeto físico, sino una idealización construida en el espacio puro de la intuición .
3. La construcción matemática en la intuición pura
Kant sostiene que las matemáticas se fundamentan en la construcción de conceptos en la intuición pura . Esto significa:
- Arithmetic : Los números se construyen mediante la sucesión de unidades en el tiempo (ej.: contar 1, 2, 3...).
- Geometry : Las figuras se construyen en el espacio puro (ej.: trazar una línea recta o un círculo en la imaginación).
Consecuencia ontológica :
- Los objetos matemáticos no son trascendentales (como en el platonismo), ni meros símbolos (como en el formalismo), sino objetos ideales que existen en la intuición pura .
- Son objetivamente válidos dentro del marco de la experiencia posible, pero no tienen existencia independiente fuera de las condiciones trascendentales de la sensibilidad.
4. ¿Son los objetos matemáticos reales?
Kant rechaza tanto el realismo platónico como el nominalismo radical . Su respuesta es una síntesis:
- No son cosas en sí mismas (noumena): No existen fuera de las condiciones trascendentales de la mente humana.
- Pero son reales en el ámbito fenoménico : Tienen validez objetiva en el mundo de la experiencia, porque estructuran cómo percibimos y entendemos la realidad.
Ejemplo : El número π no es una entidad eterna ni una ficción, sino una relación que emerge al aplicar la intuición pura del espacio y el tiempo a la medición de círculos en la experiencia.
5. Crítica al empirismo y al racionalismo
- Empirismo (ej.: John Stuart Mill) : Rechaza que las matemáticas se deriven de la experiencia sensorial. Para Kant, la necesidad y universalidad de las matemáticas solo pueden explicarse si son a priori.
- Racionalismo (ej.: Descartes o Leibniz) : Critica que reduzca las matemáticas a verdades lógicas analíticas. Para Kant, las matemáticas requieren una intuición constructiva , no solo razonamiento lógico.
6. ¿Qué diría Kant sobre la geometría no euclidiana o el infinito?
Aunque Kant escribió antes de que surgieran las geometrías no euclidianas (Gauss, Lobachevski) o la teoría de conjuntos (Cantor), su filosofía permite reinterpretar estos avances:
- Geometría no euclidiana : Para Kant, el espacio euclidiano es una condición a priori de nuestra intuición, pero esto no excluye que otras geometrías sean posibles en contextos teóricos o empíricos (ej.: relatividad general).
- Infinito matemático : Kant distinguía entre el infinito potencial (como en el proceso de contar) y el infinito actual (como un conjunto completo). Rechazaba el infinito actual como algo que trasciende la capacidad de la intuición humana.
7. Conclusión: Estatuto ontológico de los objetos matemáticos según Kant
5) Los entes matemáticos según Spinoza
Reformulación centrada en el "Tratado de la reforma del entendimiento" (TRE) de Spinoza
La visión de Spinoza sobre los entes matemáticos, aunque no se explicita directamente en el Tratado de la reforma del entendimiento (TRE), puede inferirse a partir de sus principios metodológicos y epistemológicos desarrollados en este texto. El TRE es una obra temprana e inacabada que establece las bases para su sistema filosófico posterior (como en la Ética ), enfocándose en cómo corregir el intelecto para alcanzar un conocimiento verdadero y útil. Vamos a explorar qué diría Spinoza sobre los entes matemáticos desde esta obra:
1. Los entes matemáticos como "ideas verdaderas" necesarias
En el TRE, Spinoza argumenta que el objetivo del conocimiento es alcanzar ideas verdaderas que nos permitan comprender la esencia de las cosas. Para él:
- Las ideas verdaderas son aquellas que refieren a la naturaleza necesaria y eterna de Dios (la única sustancia infinita).
- Los objetos matemáticos (números, figuras, relaciones) cumplen este criterio, ya que sus propiedades son necesarias y universales (ej.: "la suma de los ángulos de un triángulo es 180°").
Ejemplo desde el TRE :
Spinoza menciona que "la esencia de las cosas que han sido producidas por Dios de manera infinita y eterna no puede entenderse por medio de lo contingente" (TRE , § 20). Esto sugiere que los entes matemáticos, como verdades necesarias, deben entenderse desde la naturaleza eterna de Dios , no desde la experiencia contingente.
2. Crítica al conocimiento basado en la imaginación
El TRE distingue entre tipos de conocimiento:
- Conocimiento por imaginación o experiencia confusa : Basado en percepciones sensoriales y opiniones, es inadecuado.
- Conocimiento racional (segunda especie) : Fundado en causas y conexiones necesarias, accesible mediante el razonamiento deductivo.
- Conocimiento intuitivo (tercera especie) : Comprensión directa de la esencia de las cosas a través de su relación con Dios.
Aplicado a las matemáticas :
Spinoza valoraría las matemáticas como conocimiento racional (segunda especie) , ya que se construyen mediante definiciones, axiomas y deducciones necesarias. Por ejemplo, el número 2 o el concepto de círculo no dependen de la experiencia sensible, sino de principios lógicos y geométricos que reflejan la estructura racional de la sustancia infinita (Dios) .
3. La matemática como modelo de conocimiento verdadero
En el TRE, Spinoza propone que para corregir el intelecto, debemos partir de ideas claras y distintas , ordenando el conocimiento desde lo más general a lo particular. Las matemáticas, con su método axiomático-deductivo, ejemplifican este ideal:
- Definiciones universales : Como "el punto es lo que no tiene partes" (geometría euclidiana).
- Principios necesarios : Como "el todo es mayor que sus partes".
- Demostraciones rigurosas : Que garantizan la verdad independientemente de la experiencia.
Implicación ontológica :
Los entes matemáticos no son meras abstracciones mentales, sino que existen como ideas en Dios y como expresiones de la racionalidad inherente a la sustancia infinita . Su necesidad lógica no depende de nosotros, sino de la estructura eterna de la realidad.
4. ¿Son los entes matemáticos "reales" según el TRE?
Spinoza rechazaría tanto el platonismo (entes matemáticos en un mundo trascendente) como el nominalismo (meras ficciones humanas). Su respuesta, desde el TRE, sería:
- Los entes matemáticos existen como ideas verdaderas en la mente de Dios , que es la única sustancia real.
- No son independientes de Dios , pero tampoco son subjetivos: son modos de su atributo del pensamiento .
- Tienen validez objetiva porque reflejan la necesidad y perfección de la naturaleza/divinidad .
Ejemplo desde el TRE :
Spinoza afirma que "el orden y la conexión de las ideas es el mismo que el orden y la conexión de las cosas" (TRE , § 16). Esto implica que las relaciones matemáticas (ej.: 2 + 2 = 4) no son arbitrarias, sino que están determinadas por la estructura necesaria de la realidad .
5. Crítica al empirismo y al formalismo
- Empirismo : Spinoza rechazaría que las matemáticas se deriven de la experiencia. En el TRE, critica el conocimiento basado en "la imaginación", que depende de percepciones confusas (TRE , § 24). Las matemáticas, siendo necesarias, deben fundarse en la razón, no en lo contingente.
- Formalismo : Tampoco vería las matemáticas como meros juegos simbólicos. Para Spinoza, los símbolos matemáticos representan estructuras objetivas de la realidad , accesibles mediante la razón.
6. Ejemplo: El número π en la visión del TRE
- No es una invención humana , ni una idea platónica separada.
- Es una relación necesaria que emerge de la estructura de la extensión (atributo de Dios) y está comprendida en la mente infinita de Dios.
- Su irracionalidad y transcendencia no son defectos, sino manifestaciones de la infinitud y perfección de la naturaleza/divinidad.
7. Relación con la Ética
Aunque el TRE no desarrolla plenamente la metafísica de Spinoza, sus ideas sobre el conocimiento allí expuestas se complementan con la Ética . En esta obra, Spinoza afirma que:
- "Dios es la causa de todas las cosas, tanto de sus esencias como de sus existencias" (Ética , I, Prop. 25).
- Esto incluye las verdades matemáticas: su necesidad no es independiente de Dios, sino que depende de su esencia infinita .
8. Conclusión: Estatuto ontológico desde el TRE
La definición de esfera que Spinoza analiza en el Tratado de la reforma del entendimiento (TRE) es un ejemplo clave para entender su visión ontológica de los entes matemáticos y su relación con la verdad y la realidad . Este análisis revela cómo Spinoza concilia su racionalismo con su monismo metafísico , rechazando tanto el platonismo como el empirismo. Vamos a desglosarlo:
1. La definición de esfera en el TRE
Spinoza critica la forma en que muchas personas entienden conceptos matemáticos, como la esfera. En el TRE, menciona:
- Definición común : "La esfera es una figura corporal cuyas superficies equidistan de su centro" (una definición basada en la imaginación o la percepción sensible).
- Definición adecuada : "La esfera es una figura generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro" (una definición causal que explica el origen y esencia de la figura).
Crítica de Spinoza :
La primera definición es inadecuada porque solo describe una propiedad externa (la equidistancia) sin capturar la esencia o causa de la esfera. La segunda definición es adecuada , ya que explica cómo se genera la esfera (rotación de un semicírculo), vinculando su esencia a un proceso necesario y universal.
2. ¿Qué revela esto sobre la ontología de los entes matemáticos?
Spinoza no ve los entes matemáticos (como la esfera) como objetos independientes (como en el platonismo) ni como meras abstracciones mentales (como en el nominalismo). Su visión se fundamenta en tres pilares:
a) Los entes matemáticos existen como ideas en Dios
- En el TRE, Spinoza afirma que toda idea verdadera debe referirse a la esencia necesaria de Dios , la única sustancia infinita.
- La esfera, como idea matemática, existe en la mente infinita de Dios (atributo del pensamiento) y refleja una estructura racional inherente a la naturaleza/divinidad.
- No son "formas" platónicas separadas, sino modos de los atributos infinitos de Dios .
b) Su existencia es necesaria y eterna
- Las propiedades matemáticas (como la relación entre el radio y la superficie de una esfera) son necesarias porque dependen de la esencia divina.
- Para Spinoza, estas verdades no dependen de la experiencia humana ni de convenciones simbólicas, sino de la estructura lógica de la realidad (Dios/naturaleza).
c) Relación con la extensión física
- El atributo de la extensión (la realidad material) también está vinculado a las matemáticas.
- La esfera física (como un planeta) es un modo de la extensión , pero su esencia matemática (la relación entre sus dimensiones) existe independientemente de su realización concreta.
3. La esfera y la búsqueda de la verdad
En el TRE, Spinoza vincula la corrección del intelecto a la búsqueda de ideas verdaderas y adecuadas . La definición causal de la esfera ilustra este ideal:
Verdad como coherencia con la esencia divina :
Una idea matemática es verdadera si corresponde a la esencia necesaria de Dios. La definición causal de la esfera no solo describe su forma, sino que explica su origen, alineándose con la necesidad lógica de la sustancia infinita .Verdad como herramienta para comprender la realidad :
Al entender la esfera desde su causa (rotación de un semicírculo), el intelecto accede a una comprensión más profunda de la realidad física y matemática. Esto refleja el método deductivo de la Ética , donde las cosas se comprenden desde su relación con Dios.
4. Crítica al empirismo y al formalismo
Spinoza rechaza dos visiones opuestas sobre las matemáticas:
Empirismo :
Las matemáticas no derivan de la experiencia sensible. La definición inadecuada de la esfera (basada en la percepción visual) es un ejemplo de conocimiento confuso, propio de la imaginación , no de la razón.Formalismo :
Las matemáticas no son meros juegos simbólicos. Para Spinoza, los símbolos y definiciones matemáticos reflejan estructuras objetivas de la realidad , accesibles mediante el razonamiento deductivo.
5. Ejemplo: La esfera y la relación entre matemáticas y naturaleza
Spinoza argumentaría que:
- La esfera física (como un planeta) y la esfera matemática (como concepto) están interconectadas en la sustancia única (Dios/naturaleza).
- La necesidad matemática (ej.: "la superficie de una esfera es 4πr²") no es una abstracción arbitraria, sino una manifestación de la racionalidad inherente a la realidad .
- Esta relación revela que la verdad matemática y la verdad natural son dos aspectos de una misma realidad divina .
6. Conclusión: Ontología spinozista de los entes matemáticos
La definición de esfera en el TRE ilumina la visión de Spinoza sobre los entes matemáticos:
¿Que diría Hegel respecto de los entes matemáticos (números, figuras, variables, funciones, estructuras algebraicas ... ) ?
a) Los entes matemáticos existen independientemente de nosotros, son abstractos, acausales, eternos e inmutables.
b) Los entes matemáticos no existen realmente; son construcciones lingüísticas, conceptuales o ficciones útiles.
c) No hay objetos matemáticos "reales", solo símbolos manipulados según reglas.
d) Los objetos matemáticos no existen independientemente de nuestra construcción mental de ellos.
e) Lo importante no son los objetos matemáticos en sí mismos, sino las estructuras o relaciones en las que participan. De hecho son esas relaciones entre unos y otros en las que participan.
f) Las matemáticas tienen un fundamento empírico, derivado de la experiencia del mundo físico. Los entes matemáticos son generalizaciones de hechos empíricos
g) Como parte de una visión científica del mundo, debemos aceptar la existencia de entidades matemáticas porque son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Los entes matemáticos son en cuanto partes de teorías que explican la realidad y permiten manipularla
h) La existencia matemática es una forma específica de existencia dentro de configuraciones materiales que cumplen determinadas condiciones estructurales. Las matemáticas no estudian cosas "por sí mismas", sino estructuras internas de sistemas materiales. Los números, conjuntos, funciones, etc., no son ideas ni ficciones, sino realidades objetivas , aunque no sean sustancias independientes.
¿Creéis que se quedaría con alguna de las opciones anteriores, con una mezcla de algunas de ellas o diría algo completamente distinto?
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