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viernes, 14 de diciembre de 2012

Teoría de Galois



A continuación describo los pasos que daría yo para llegar a comprender la Teoría de Galois, en su aspecto más simple, el de demostrar el Teorema de Abel, y poco más

En realidad esta entrada del blog es una manera de exponer y dar cuerpo a un entorno informacional específico sobre Teoría de Galois
I.- Introducción
El Teorema de Abel dice que la ecuación general de quinto grado o superior no es resoluble por radicales.Este puede ser un punto de patida.
Pero antes debemos conocer qué significa resolver por radicales una ecuación y también cómo se resuelven las ecuaciones de grados menores que cinco:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04700570/izurdiaga/spip.php?article58
http://www.famaf.unc.edu.ar/series/pdf/pdfCMat/CMat31-2.pdf
http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-4-algebra3.pdf
http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap20/Parte01_20.htm
http://www.miscelaneamatematica.org/Misc53/5304.pdf
Resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grados
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/%C3%81lgebra/Ecuaciones
http://www.miscelaneamatematica.org/Misc53/5301.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_grado

CONTINUARÁ (TOBE CONTINUED)

Enlaces sobre el teorema de Abel:
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Abel-Ruffini
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_quinto_grado
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_1/abel_y_la_quintica.pdf
http://gaussianos.com/por-que-no-hay-solucion-general-de-la-ecuacion-de-quinto-grado/

En esta entrada intentamos  estudiar la resolubilidad por radicales de algunas ecuaciones concretas. Además limitada a cuerpos o campos numéricos. ¿Porqué esa limitación?
Antes de contestar a esa pregunta, podemos curiosear por varias páginas con explicaciones sobre la teoría de Galois

Una introducción "no técnica" pero muy clara a todo este lío
http://gaussianos.com/por-que-no-hay-solucion-general-de-la-ecuacion-de-quinto-grado/

BREVE EPXLICACION EN INGLES SOBRE LA TEOR.IA DE GALOIS
Introduccion para principiantes talentosos
http://www.lisazhang.ca/2011/12/galois-theory-in-1500-words.html
http://yaniv.leviathanonline.com/blog/articles/GaloisTheoryForDummies.pdf
http://fermatslastspreadsheet.com/2012/04/21/galois-theory-for-dummies/
 http://www.web.pdx.edu/~slarsen/MyMathDeptSite/webpage/Math543SP12/543%20Galois%20Theory%20Introduction%20P1.pdf

OBRAS EN INGLÉS SOBRE LA TEORÍA DE GALOIS
http://www2.math.uu.se/~qimh/Galois.pdf
http://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf
http://hkumath.hku.hk/~ntw/EMB%28poly2008%29.pdf
http://homepages.warwick.ac.uk/~masda/MA3D5/Galois.pdf


CONTINUA EL TEXTO ANTERIOR
La verdad es que existe consenso entre los matemáticos, docentes universitarios, en que es mucho mejor tratar la teoría de Galois en forma general, es decir, considerando campos abstractos o genéricos, e incluyendo en los razonamientos y resultados los campos finitos, que limitarse a considerar campos numéricos, todos subconjuntos de los números complejos.
El motivo que siempre se alega es que con muy poco esfuerzo más, se obtienen resultados mucho más generales.
Sin embargo, desde mi punto de vista se pierde intuición, que me parece importante en un primer contacto con estos temas.
Por eso el enfoque que me gusta consiste en ver la teoría para campos numéricos y luego generalizarla para campos cualesquiera.
Un libro que adopta este punto de vista es Foundations of Galois Theory de M. M. Postnikov que se puede encontrar en http://bookzz.org/book/985072/ccc226
En este otro libro http://www.usc.es/regaca/Galois.pdf  también se adopta esta visión, pero a pesar de los propios autores, obligados a adaptarse a trabajar los contenidos sólo en un cuatrimestre (hay que omitir en la lectura determinados apartados).




II.- Esquema con los puntos a tratar para un desarrollo de los primeros pasos de la teoría de galois

TEORÍA DE GALOIS PARA CUERPOS NUMÉRICOS:
    • Establecer en qué consiste la resolución por radicales de una ecuación con coeficientes racionales.
    • Resolver por radicales las ecuaciones de grado 1,2,3,4.
    • Definir y dar ejemplos del concepto de campo numérico
    • Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra
    • Relación entre la resolución por radicales y las extensiones de cuerpos.
    • Diferentes tipos de extensiones de cuerpos y las relaciones entre ellas.
    • Polinomios mínimos, números algebraicos.
    • Estructura de las extensiones algebraicas compuestas.
    • Torres de extensiones.
    • Teorema del elemento “generador”
    • El campo de los números algebraicos.
    • Información básica sobre grupos. (definición, propiedades primeras, subgrupos, divisores normales , grupos factores, homomorfismos entre grupos)
    • Estudio especial de los grupos de permutaciones. En particular del grupo de las permutaciones de tres elementos, del de 4 y del de 5.
    • Extensiones normales. El papel de las funciones simétricas en la teoría de Galois. Las extensiones normales son campos de descomposición de polinomios y viceversa.
    • Automorfismos de un campo. Grupo de Galois
    • Correspondencia de Galois.
    • Información avanzada sobre grupos: generalizaciones de los teoremas de homomorfía, series normales, grupos cíclicos, grupos solubles, grupos abelianos.
    • Extensiones radicales y extensiones cíclicas.
    • Campos normales con grupos de Galois solubles. Ecuaciones resolubles por radicales.
    • El grupo de Galois de una ecuación considerado como grupo de permutaciones.
    • No solubilidad por radicales de la ecuación general de grado
    • Hallar el grupo de Galois de ecuaciones concretas. Estudio de la solubilidad por radicales de ecuaciones concretas.
    • Generalización a cuerpos arbitrarios


III.- Preguntas para evaluar si conoces la teoría de Galois
Las siguientes preguntas pueden servir para evaluar el grado de comprensión de la teoría de Galois o bien para estimular y guiar el aprendizaje de la misma
PREGUNTAS SOBRE TEORÍA DE GALOIS (CAMPOS DE CARACTERÍSTICA CERO)
1)¿Qué es resolver por radicales?. ¿En qué consiste la resolubilidad por radicales?
2)¿Se pueden distinguir “a simple vista” polinomios con sus raices en Q de otros con raíces fuera de Q?
3) ¿Qué se entiende por simetría de una ecuación polinómica?
(Sé que son transformaciones que intercambian raíces entre sí, y que además respetan ¿todas las expresiones algebraicas que se puedan construir con ellas?)
4) En el caso de que una ecuación polinómica se pueda resolver por radicales, ¿En qué se nota eso en el polinomio? ¿Còmo afecta la resolubilidad por radicales al polinomio?
5) ¿Cómo puedo encontrar un método “lógico” para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?. Un método en el que “se vea” para qué haces lo que haces. ¿Qué tiene ese método que ver con la simetría de la ecuación?
6) ¿Qué condición impone la resolubilidad por radicales a la simetria de la ecuación polinómica?
7) ¿Qué es la correspondencia de Galois y cómo se relaciona con todo lo anterior?.¿Qué es el grupo de Galois?
8) Un polinomio ¿está caracterizado por sus raíces? ¿O además hay que tener en cuenta el grupo de Galois?. Conociendo las raíces y el grupo de Galois se puede reconstruir el polinomio?
9) ¿Qué es un cuerpo de escisión o de descomposición de un polinomio? ¿Qué es un cuerpo intermedio? ¿Qué se entiende por adjuntar una raíz?
Ejemplo: Campo de escisión de . Campo de escisión de Similitudes y diferencias esenciales entre ambos. Comparar con el campo de escisión de Pistas en
Explicación sobre nùmeros complejos y raíces de números complejos:
10) ¿Qué es una extensión de cuerpos?¿Qué es una extensión normal? ¿Qué propiedad cumplen las extensiones normales? Ejemplos de extensiones normales y otras que no sean normales
11) ¿Cómo intervienen los polinomios simétricos en la demostración de que el campo de descomposición de un polinomio mónico e irreducible es siempre una extensión normal?
12) A cada campo numérico le corresponde un único polinomio mónico del cual es del cuerpo de escisión? ¿Y al revés?
13) Supongamos que tenemos un polinomio, su campo de descomposición y su grupo de Galois. Adjuntamos una nueva raíz al campo, y la incorporamos al polinomio, (si la nueva raíz es α el nuevo polinomio sería q(x)=(x-α)p(x) ) ¿Cómo cambia el grupo de Galois?


IV.- Materiales para aprender teoría de galois
Antes de poner varios enlaces sobre teoría de Galois, ponemos uno a un curso en vídeo sobre Teoría de Galois:
http://www.youtube.com/watch?v=R8p4Wmi2KWc
http://alexmoqui.wordpress.com/2012/05/23/un-curso-de-teoria-de-galois/
Enlaces sobre teoría de Galois
http://geekalt42.net/video-de-evariste-galois-y-su-teoria-de-grupos-4822
http://yaniv.leviathanonline.com/blog/articles/GaloisTheoryForDummies.pdf
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/to2009/algebraIIn0305/APalgII3.pdf
Vídeos sobre Galois
http://www.youtube.com/watch?v=0B_Q1Kuqkxc
http://www.youtube.com/results?search_query=Galois&page=1
http://www.youtube.com/results?search_query=Grupo+de+Galois&page=1
video sobre Galois


Para estudiar el álgebra abstracta en general y la Teoría de Galois en particular  http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html#index

En este enlace hay bastantes matemáticas, incluyendo teoría de Galois
Lo mismo ocurre en este otro enlace

Documentos pdf sobre teoría de Galois (y sobre otros temas de álgebra)
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/

http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra/Chapter6.pdf

Traca final: enlace a una carpeta con un montón de archivos sobre Teoría de Galois y temas relacionados (y alguna que otra cosa que se ha colado)
https://drive.google.com/folderview?id=0BzfhQuA7D_e6TWR2RjRHb3MzUHc&usp=sharing
En este otro enlace tienes un montón de libros (la mayoría en inglés) sobre teoría de Galois
Me lo han proporcionado amablemente en la página de facebook  https://www.facebook.com/groups/135721943283748/  (Por si el enlace no funciona, se llama Matemáticas y Física en pdf)
Entre los libros del enlace proporcionado por "Matemáticas y Física en pdf" vuelve apaerecer el de Postnikov mencionado antes y otro libro que trata de a teoría de Galois desde un punto de vista histórico y que se llama A CLASSICAL INTRODUCTION TO GALOIS THEORY, y que por ello comparte el punto de vista antes expresado de limitarse en un primer momento a campos numéricos
En este enlace puedes encontrar tres libros muy buenos sobre la Teoría de Galois (están en inglés)
Si el anterior enlace no funciona los tienes pinchando en la frase anterior.
En este enlace  tienes acceso a una carpeta con documentos sobre la teoría de Galois
Bueno, si algunos libros o archivos se repiten en determinados enlaces es porque me gustan especialmente y repitiéndolos posibilito la descarga o visión on line desde diferentes sitios y así aumento las probabilidades de tenerlos disponibles por mucho tiempo.
Del mismo tipo anterior tienes los aiguientes enlaces:
Enlace 1
Enlace 2
Teoría de Grupos
Documento sobre Teoría de Galois
Aún otro Galois
Mas Galois
Otro Galois



V.- Preguntas que se hace la gente sobre la teoría de galois
    a) Métodos para resolver ecuaciones de quinto grado
     b) Resumen de diferentes métodos para resolver ecuaciones de grados                 menor o igual a cuatro

VI.- La teoría de Galois a principios del siglo XX
http://www.emis.de/proceedings/Chicho2001/Escribano-Espanol.pdf 

VII.- Temas relacionados con la teoría de Galois
https://www.cs.nott.ac.uk/~rcb/G53PAL/FPandGC.pdf 
http://www.math.toronto.edu/askold/N759.PDF

VIII.-  Problemas resueltos de teoría de grupos
http://www.uv.es/~iranzo/Problemas_Galois.pdf 

IX.-    Introducción simultánea a la teoría de grupos y 
          a la teoría de Galois
 http://matematicas-de-la-simetria.blogspot.com.es/

X.-    Curso de Teoría de Galois de F. Chamizo
http://www.uam.es/otros/openmat/cursos/teogal/teogal.html#Material_de_clase

XI.-    Teoría de las ecuaciones algebraicas (Ángel del Río Mateos)
http://www.um.es/adelrio/Docencia/Ecuaciones/EcuAlg.pdf 
 

CONTINUAREMOS PRONTO ESTA SECCIÓN Y LA ENTRADA EN GENERAL
TO BE CONTINUED





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