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jueves, 20 de diciembre de 2012

Paradoja de Monty Hall



Una paradoja perteneciente al campo de la estadística es la paradoja de Monty Hall, también llamada la paradoja de las tres puertas.
En un concurso televisivo tenemos tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche, mientras que detrás de las otras dos, hay una cabra respectivamente.
Después de que el concursante haga su elección (y antes de comprobar si ha acertado), el presentador abre una de las puertas no elegidas donde sabe que hay una cabra y le pregunta al concursante «¿Está seguro de querer abrir esa puerta o quiere elegir otra?»

El sentido común dicta que no hay diferencia entre cambiar o no la elección de la puerta, sin embargo, el problema tiene trampa, ya que si nos quedamos con la puerta elegida inicialmente tenemos menos probabilidades de acierto que si cambiamos de puerta.

Más información en http://www.emezeta.com/articulos/13-paradojas-que-quizas-no-conocias#ixzz2F55mPyQi


(DENOSTADA WIKIPEDIA, ACUSADA DE ERROR E IMPRECISIÓN, PERO A MENUDO TAN ÚTIL.)
El enlace al artículo de la Wikipedia lo puedes encontrar en ESTO ES UNA EXPLICACIÓN Y LO DEMÁS SON TONTERÍAS

Ahí va lo que pone la Wikipedia (en realidad, extractado):
La verdad es que los trozos que he extractado proporcionan, a mi juicio, una explicación muy clara del problema.
Después añadiré una justificación que me parece muy clara basada en diagramas de árbol

El problema de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad basado en el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal (Hagamos un trato). El problema fue bautizado con el nombre del presentador de dicho concurso: Monty Hall.
La premisa
El concursante en el concurso televisivo debe elegir una puerta de entre tres (todas cerradas), el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un automóvil, y tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y comunicado su elección a los presentes, Monty, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abrirá una de las otras dos y mostrará que detrás hay una cabra. A continuación, le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones) ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?
Esa pregunta ha generado un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir conceptos básicos de probabilidad, se puede considerar como una paradoja. La respuesta se basa en suposiciones que no son obvias y que no se encuentran expresadas en el planteamiento del problema, por lo que también se puede considerar como una pregunta con trampa.

[editar]La premisa original

A continuación se expone el enunciado más famoso del problema, extraído de una carta de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citan Bohl, Liberatore, y Nydick).
Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?
Éste es una nueva formulación del problema proporcionado por Steve Selvin en una carta a American Statistician (febrero de 1975). Como se ha dicho anteriormente, el problema está inspirado en el concurso televisivo, a pesar de que los concursantes de Let's Make a Deal no tenían opción de cambiar su elección. Como Monty Hall contestó a Selvin [1],
Y si alguna vez vas a mi programa, las reglas también se te aplicarán -- no se permite cambiar de caja después de realizar tu elección.
En la carta posterior de Selvin a American Statistician (agosto de 1975) aparece la que parece ser la primera mención del término "problema de Monty Hall".
Un problema análogo denominado "problema de los tres prisioneros" apareció en la columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner hace el proceso de elección explícito, evitando las suposiciones de la versión original.

[editar]La premisa completa

Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:
  • Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
  • Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.
  • Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.
La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?

[editar]La solución

[editar]Suposiciones iniciales

Esta solución se basa en tres suposiciones básicas:
  • que el presentador siempre abre una puerta,
  • que la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya,
  • y que tras ella siempre hay una cabra.
Estas suposiciones no se encuentran explícitamente en el enunciado.

[editar]Un estudio probabilístico


Diagrama de posibilidades
La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?
Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.
Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.
Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.
En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

[editar]Explicaciones alternativas

[editar]El problema con las 100 puertas

Una forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras. Si no cambiase su elección, ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces); mientras que si la cambia siempre, ganaría cada vez que no lo haya escogido originalmente, o sea, 99 de cada 100 veces.

[editar]

En un episodio de la serie FriendsChandler Bing hace referencia a Monty Hall en la cena previa a la boda de Ross Geller y Emily Waltham, cuando hace lo que él llama un "brindicito".
En el capítulo 101 del libro El curioso incidente del perro a medianoche (2003), Christopher recurre al problema de Monty Hall para demostrar que la intuición puede hacer que nos equivoquemos, mientras que la lógica puede ayudarnos a deducir la respuesta correcta.
En la película 21 blackjack (2008), durante una clase de matemática avanzada, el profesor Mickey Rosa desafía a Ben Campbell a que descifre un problema acerca de tres puertas con cambios variables (problema de Monty Hall); éste lo resuelve con éxito.

[editar]Referencias

  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
  • Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
  • Joseph Bertrand (1889) Calcul des probabilites
  • Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
  • Gnedin, Sasha "The Mondee Gills Game." The Mathematical Intelligencer, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
  • Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May-June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.
  • Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 52005).
  • Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000, pp. 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).
  • Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
  • Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
  • Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times 21 July 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
  • vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1990). [cited in Bohl et al., 1995]
  • Adams, Cecil (1990). "On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2--no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?", The Straight Dope November 21990http://www.straightdope.com/classics/a3_189.html (retrieved July 252005).
  • Tijms, Henk (2004). Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.
  • Ziemer, Rodger E. (1997). Elements of Engineering Probability & Statistics. Prentice Hall, pp. 31-32.
Bueno, impresionante la Bibliografía.

Un análisis completo, exhaustivo, lo tienes en la revista suma (artículo sobre problema de Monty Hall)

Como lo prometido es deuda, añado ahora la explicación basada en diagramas de árbol. 
Para mí la dificultad está en ser capaz de trasladar aquí un diagrama de árbol
Los diagramas de árbol son una herramienta muy potente para la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad y también para la resolución de problemas de ese tema.
La probabilidad condicionada, probabilidad total y teorema de Bayes, que pueden resultar complicados si se resuelven mediante la mera aplicación de fórmulas, quedan aclarados y facilitados cuando introducimos los diagramas de árbol.
Aquí se ve el diagrama de árbol que corresponde al caso en que se adopta sistemáticamente la estrategia de cambio de puerta en la segunda fase.
Hay que darse cuenta de que supuesto que adoptamos la estrategia de cambio de puerta, en la segunda fase no se alteran las probabilidades.
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡AAAAAAAAAAAAAAYYYYYYYYYYYYYY!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

¡Que no se hacer diagramas de árbol por ordenador para incorporarlos aquí!

Bueno, mientras aprendo o no aprendo, que me parece que voy a tardar, pues copio de una página en la que se expresa la idea mía casi como yo la quería expresar:
Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la Nº 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la Nº 3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la Nº 2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?
Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador.
Hagamos un diagrama de árbol para calcular las probabilidades de ganar el coche si cambiamos la puerta o no:
Así se ve claramente que la probabilidad de ganar el coche si cambiamos de puerta es de 2/3 (66 %) y en caso contrario de 1/3 (33 %)
Naturalmente, escribo el enlace a la página AQUÍ (TIENE PINTA DE SER UNA PÁGINA MUY INTERESANTE)

No me quedo tranquilo si no pongo la página de inicio de esta interesante web

¡Dios mío! ¿Qué ocurrirá cuando los enlaces que voy colocando en las entradas de este blog empiecen a fallar?
¡La información estará incompleta, el blog será ilegible!

Como resumen:
La solución al problema de Monty Hall es completamente antiintuitiva, ya que uno tiende a pensar que al final tienes dos puertas y un 50% de probabilidades de que aparezca la cabra o el coche en cada una de ellas.
Sin embargo no es así.
se puede uno convencer de eso:
Mediante razonamiento matemático
Leyendo  esta ENTRADA  de este blog
Usando el simulador de la situación que aparece en el sitio 
http://people.hofstra.edu/steven_r_costenoble/MontyHall/MontyHallSim.html que para mayor comodidad pongo en simulador
Leyendo la ENTRADA del blog 
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html#1
O de mil maneras más, pero siempre será contraintuitivo, incluso si hay 100 puertas y el presentador abre 98 mostrando que en cada una de ellas hay cabras.
En mi modesta opinión está por hacer o al menos difundir, una explicación que haga comprender el asunto de manera "evidente"
Tengo que recomendar las discusiones sobre Monty Hall que se han producido en el foro de matemáticas de la página "rincón matemático" y que puedes encontrar en estos enlaces:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,11858.0.html

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,7051.0.html

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,26600.0.html

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=64740.0

Un último blog donde se comenta el asunto
https://imperiodelaciencia.wordpress.com/2011/10/27/el-problema-de-monty-hall/

Antes de acabar, una bonita reflexión sobre las matemáticas y como se enseñan que utiliza la paradoja de Monty - Hall como ejemplo y material para pensar
https://www.youtube.com/watch?v=lTYegDJDPt4 
  

Hasta pronto

Por ahora, este asunto ha terminado y doy por concluída esta entrada dedicada a Monty Hall


POSDATA: EN respuesta al último comentario que he recibido, propongo el siguiente experimento mental, que ya aparece en algunas de las fuentes que he citado antes, aun que no exactamente igual:

Imagina que hay un millón de puertas, de las cuales 1 oculta un coche y las otras 999999 corresponden a cabras.
Tu eliges una puerta.
Tienes una probabilidad entre un millón de que sea coche y en cambio 999999/1000000 o sea probabilidad 0,999999 de que sea cabra.
Dicho en otras palabras, es casi seguro que eljiste cabra.
Fíjate que en el caso de que hayas elegido cabra (que es casi seguro) quedan 999998 puertas con cabra y 1 puerta con coche
En cambio, si elegiste coche (lo cual es muy improbable), quedan 999999 puertas con cabra.
En cualquier caso el presentador dispone de 999998 puertas con cabra detrás para abrirlas
Por fin el presentador abre 999998 puertas con cabra detrás.
Sólo quedan cerradas la puerta que tú elegiste al principio y la que el presentador ha dejado sin abrir.
Entonces lo más seguro es que detrás de la puerta que queda esté el coche, puesto que es muy probable que la puerta que tú elegiste al principio sea de las de cabra.

Por eso conviene cambiar, ya que la puerta que ha dejado el presentador cerrada contiene el coche con probabilidad 0,999999

2 comentarios:

  1. Creo que hay un 50%. Tengo una explicación en palabras pero ahora que vi el diagrama te lo puedo explicar en base a eso. La pregunta "cambiar o no" se produce cuando ya no hay posibilidades de elegir una tercera puerta (ya abierta). Por lo tanto no se por qué en el diagrama dice que se puede dar tres situaciones las cuales 2 son idénticas. El diagrama tendría que contener las posibilidades que son 2, o una puerta con coche, o una con cabra. La tercera puerta nunca entra en el juego porque siempre se cancela en la segunda etapa.

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  2. La contestación que se me ocurre es que si cambias cuando el presentador te lo ofrece estas intercambiando las probabilidades iniciales. que son de 1/3 coche y 2/3 cabra, para obtenerlas al revés.
    Copio un trozo que me parece particularmente claro de la explicación que da la wikipedia:
    "Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.
    Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.
    En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche"
    Hasta aquí el texto que copio.
    ¿Sirve para aclararte?
    Por si no te aclaras, dos consejos:
    1) En la red hay mucho sobre este tema, por si te hace falta buscar más.
    2) Hay un tema de teoría de las probabilidades cuyo conocimiento puede ayudarte, y es el concepto de probabilidad condicionada. También hay mucho de esto en la red
    Hasta pronto

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