"No existe camino real en matemáticas" es una frase que he leído atribuida a distintos matemáticos de distintas épocas señalando a personas con cierto interés en aprender matemáticas que no hay manera fácil de hacerse con el dominio de conceptos y procedimientos de este campo del saber. Vamos, que hay que sufrir para alcanzar la comprensión matemática.
En el asunto del que trata esta entrada, al análisis no estándar da carta de naturaleza a los razonamientos intuitivos de los fundadores del cálculo en los siglos XVII y XVIII, permitiendo así eliminar o al menos retrasar, la enseñanza del método "epsilon - delta" que resulta aterrador en una primera aproximación al cálculo.
Pero nos encontramos que la justificación de este mátodo es incomparablemente más dificil de comprender que el aludido método "épsilon - delta", lo cual hace inutil, desde el punto de vista didáctico, introducir este punto de vista.
¿Existirá alguna manera de introducir el cálculo de infinitesimales e infinitos de manera más sencilla, sin que intervengan demasiado los conceptos sofisticados de lógica matemática?
El primer paso que he dado para averiguar si existe tal método es recopilar información sobre análisis no estándar a través de varios enlaces. No son fáciles de leer, contienen bastante lógica matemática aunque intenten reducirla al mínimo (pero un mínimo muy amplio) y para colmo la mayoría están en inglés.
Es lo que hay e intentaré trabajar en ello
https://www.fing.edu.uy/~amiquel/no_estandar.pdf
https://www.uv.es/ivorra/Libros/ANE.pdf
Éste no es tan bueno para una introducción
http://enciclopedia.us.es/index.php/N%C3%BAmero_hiperreal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal
http://www.rug.nl/research/som-ri/publications/ponstein.pdf
http://homepages.math.uic.edu/~isaac/NSA%20notes.pdf
http://www.math.uha.fr/sari/papers/nsarr.pdf
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/14.pdf
https://www.rug.nl/research/feb-ri/publications/ponstein.pdf
El análisis no estándar es una forma de hacer cálculo y análisis matemático utilizando los números hiperreales (∗R), que son una extensión del conjunto de los números reales (R). 🧐 Esta rama permite trabajar con cantidades infinitamente pequeñas (infinitesimales) e infinitamente grandes (infinitos) de una manera rigurosa, a diferencia del análisis tradicional que se basa en la noción de límites.
Números hiperreales
Los números hiperreales (∗R) son una construcción matemática que incluye todos los números reales, pero también tiene dos tipos de elementos nuevos:
Infinitesimales: Son números no nulos cuyo valor absoluto es menor que cualquier número real positivo. Un ejemplo de un infinitesimal es ϵ, donde para cualquier número real positivo r. Esto es lo que permite formalizar la idea de una cantidad "infinitamente pequeña".
Infinitos: Son números cuyo valor absoluto es mayor que cualquier número real positivo. Por ejemplo, H es un número infinito si para cualquier número real positivo r.
Cada número hiperreal x que no es infinito, está "infinitamente cerca" de un único número real, llamado su parte estándar o sombra, denotado como st(x). 🤫 Por ejemplo, la parte estándar de un número hiperreal de la forma , donde r es un número real y ϵ es un infinitesimal, es simplemente r.
El Principio de Transferencia
El análisis no estándar se basa en un concepto fundamental llamado el Principio de Transferencia. ✍️ Este principio establece que cualquier afirmación verdadera sobre los números reales (R) que pueda ser expresada en un lenguaje de primer orden, también es verdadera para los números hiperreales (∗R).
Por ejemplo, la ley conmutativa de la suma () es válida para los números reales, por lo que también es válida para los números hiperreales. Este principio permite "transferir" muchos de los teoremas y propiedades del análisis real al análisis no estándar, permitiendo así que se apliquen a los infinitesimales e infinitos.
Aplicación en el Cálculo
El análisis no estándar simplifica algunas de las definiciones fundamentales del cálculo.
Derivadas
En el análisis tradicional, la derivada de una función f(x) se define mediante un límite:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$Con el análisis no estándar, se puede definir la derivada de una manera más intuitiva. Si h es un infinitesimal no nulo, la derivada f′(x) es la parte estándar de la razón de diferencias:
Aquí, Δx es un infinitesimal. Esta definición evita la necesidad de usar el concepto de límite.
Integrales
De manera similar, la integral definida se puede entender como una suma de Riemann. En lugar de tomar el límite de la suma de áreas de rectángulos infinitamente delgados, se puede usar un número infinito de rectángulos de ancho infinitesimal.
La integral definida de f(x) de a a b puede ser vista como la parte estándar de la suma de un número infinito de áreas de rectángulos:
Aquí, H es un número hiperreal infinito, y Δx=(b−a)/H es un infinitesimal.
Temas relacionados
El análisis no estándar fue formalizado por el matemático Abraham Robinson en la década de 1960. 👨🏫 Aunque no ha reemplazado al análisis tradicional en la enseñanza del cálculo, ha encontrado aplicaciones en diversas áreas como:
Física: Para modelar fenómenos que implican el infinito o lo infinitesimal.
Economía: En el estudio de modelos económicos continuos.
Probabilidad: En la teoría de procesos estocásticos.
En resumen, el análisis no estándar ofrece una perspectiva alternativa y a menudo más intuitiva para el estudio del cálculo, utilizando números hiperreales que incluyen cantidades infinitesimales e infinitas de manera rigurosa.
El análisis no estándar es un tema fascinante. Aquí tienes una selección de recursos en español e inglés, incluyendo vídeos y lecturas, para profundizar en el tema.
Vídeos de YouTube
¿FINITO o HIPERFINITO? ¡Haz tu elección! (Canal: El Axioma del Infinito)
Este vídeo ofrece una introducción accesible y conceptual a la idea de los números hiperreales y los conceptos de infinitesimales e infinitos.
Existen números infinitamente grandes? Parte 1 (Canal: Departamento Matemática y Ciencias Actuariales UCR)
Una presentación de nivel universitario que introduce la idea de números infinitos como parte de un sistema numérico más amplio.
Libros y Webgrafía
Calculo elemental: un enfoque que usa infinitesimales (H. Jerome Keisler)
Este es un libro de texto clásico, muy recomendado para principiantes. El autor lo diseñó para enseñar cálculo desde el principio usando el enfoque de los infinitesimales. El libro está disponible gratuitamente en línea bajo una licencia Creative Commons.
Conferencias sobre los Hiperreales: Una introducción al análisis no estándar (Robert Goldblatt)
Un libro que sirve como una excelente introducción al tema, mezclando la teoría con ejemplos claros. Es un texto de posgrado, pero está escrito con una perspectiva muy accesible.
Análisis no estándar (Wikipedia en español)
URL:
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_no_est%C3%A1ndar La página de Wikipedia es un buen punto de partida para entender los conceptos clave, la historia y la bibliografía esencial del tema.
"A cheap version of nonstandard analysis" (Blog de Terence Tao)
URL:
https://terrytao.wordpress.com/2012/04/02/a-cheap-version-of-nonstandard-analysis/ Un post en el blog de uno de los matemáticos más influyentes de la actualidad, Terence Tao, que ofrece una visión conceptual y simplificada del tema. Es una lectura muy valiosa.
Análisis real no estándar (Repositorio de la Universidad de Barcelona)
URL:
https://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/96038/2/memoria.pdf Un documento académico que ofrece un resumen muy completo y riguroso de la teoría, ideal si buscas una introducción más formal.
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