Problema de matematicas para enseñanza media

Enunciado:
¿Cuántas fracciones propias irreducibles de denominador 275 existen, que sean tales que en su desarrollo decimal la parte no periódica (anteperíodo) exceda en 12 unidades a la parte periódica?
Respuesta:

Lo he hecho razonando "a lo bruto".
[spoiler] La verdad es que primero hice varios intentos y me dí cuenta, calculando y pensando, que por un lado hay 200 fracciones irreducibles con denominador 275, y esto es porque la descomposición factorial de de 275 es $5^2 \cdot{11}$ por lo cual las que no son irreducibles con denominador 275 son las que tienen numerador multiplo de 5, más las que tienen numerador multiplo de 11, suma a la que hemos de quitar las fracciones que tienen numerador múltiplo de 55, ya que las hemos contado dos veces. Esto hace un total de $\frac{275}{5}+\frac{275}{11}-\frac{275}{55}= 55+25-5=75$. Luego, las otras, las irreducibles, serán $275 - 75 = 200$Pero esto al final no resultó relevante.
 Me di cuenta de que en todos los cálculos que había hecho, el desarrollo decimal tenía un anteperíodo de dos cifras y un período también de dos cifras.
¿Sería así siempre para todas las fracciones de denominador 275?.
Voy a razonarlo.
Para calcular una fracción partiendo de su desarrollo decimal, ponemos en el denominador tantos nueves como tenga su período seguidos de tantos ceros como tenga su anteperíodo. Como tal fracción ha de ser equivalente a una de las que trabajamos, irreducible con denominador 275, entonces ese numero compuesto de nueves y ceros ha de ser multiplo de 275, y por tanto su descomposición en factores primos ha de contener $5^2 \cdot{11}$. Se me ocurrió completar esta descomposición en factores de manera que resultara el menor número posible con nueves y ceros y fué $5^2 \cdot{11}\cdot{3^2}\cdot{2^2}= 9900$   (completo el once a 99 y el 25 a  100). Y este es el más pequeño.
Por tanto las fracciones que buscamos tienen un desarrollo decimal tal que al aplicarle las reglas para pasarlo a fracción, sale denominador 9900. Pero esto significa que el anteperíodo tenía dos cifras (tantas como ceros hay en 9900) y el período también tenía dos cifras (tantos como nueves hay en 9900).
Así pues todas las fracciones que nos piden tienen período y anteperíodo de dos cifras.
Esto me llevó a intentar aplicar por primera vez la condición: el anteperíodo debe superar en 12 unidades al período; Hay 87 desarrollos decimales del tipo que busco, que son $ 0,13\overline{01}; \: 0,14\overline{02}; \: ... \: 0,99\overline{87}$  ¡Pero no todas estas 87 corresponden a fracciones con denominador 275! Así que este hecho no resultó tampoco relevante.
Pero a partir de todo lo anterior, ya si se me ocurrieron las ideas decisivas.
Al pasar el desarrollo decimal $ 0,ab\overline{cd} $  a fracción, obtengo el numerador $ abcd - ab $, que en realidad es el número $ (10 a+b)\cdot{100} +10c +d - (10a+b) = 99(10a+b) +10c+d)$
Como $9900=2^2\cdot{3^2}\cdot{5^2}\cdot{11}$ para que al simplificar el denominador pase a ser 275, el numerador tiene que ser divisible entre $36=2^2\cdot{3^2}$.
Sabemos que se cumple $10a+b=10c+d+12$, entonces el numerador es $99(10a+b) +10c+d)=99(10c+d+12)+10c+d=100(10c+d) + 99\cdot{12}$.
El numerador $100(10c+d) + 99\cdot{12}$ ha de ser, como hemos visto, múltiplo de 36, y como $99\cdot{12}$ lo es, entonces tiene que ser múltiplo de 36 la cantidad $100(10c+d)$ y como 100 es múltiplo de 4, entonces $10c+d$ tiene que ser múltiplo de 9.
En otras palabras, el  período tiene que ser múltiplo de 9.
Y como el periódo tiene que tener dos cifras, y al sumarle 12 también debe dar un número de dos cifras, los posibles periodos son todos los múltiplos de 9, desde $9\cdot{1}$ hasta $9\cdot{9}=81$
Por tanto hay nueve de tales fracciones
(COMO QUERÍAMOS DEMOSTRAR)
Por si hay dudas de que los razonamientos anteriores nos hayan llevado a buen puerto, a partir de aquí es sencillo construir la expansión decimal y la fracción correspondiente:
Por ejemplo a $9\cdot{1}$ corresponden el decimal y la fracción $ 0,21\overline{09}= \frac{2109-21}{9900}=\frac{2088}{9900}=\frac{58}{275} $

Todo este proceso tan pesado, dubitativo, lleno de callejones sin salida, puede resumirse, quedándonos sólo con las ideas correctas, en las siguientes pocas frases prístinas, que dejarán boquiabiertos al común de los mortales:


Los decimales períodicos mixtos corresponden a fracciones cuyo denominador es de la forma 9...9 0...0, siendo el número de nueves el de cifras que tenga el período y el de ceros el que tenga el anteperíodo.
Como por otra parte las fracciones buscadas tienen denominador 275 cuando están simplificadas, buscamos el menor múltiplo de $275=5^2 \cdot{11}$ que sea de la forma anterior y resulta ser $9900=275\cdot{36} = 2^2\cdot{3`2}\cdot{5^2}\cdot{11}$.
Esto nos dice que tanto el período como el anteperíodo tienen dos cifras, y nuestro desarrollo decimal tendrá la forma $ 0,ab\overline{cd} $ y al pasarlo a fracción obtendremos como denominador el ya citado 9900 y como numerador $ abcd - ab = (10 a+b)\cdot{100} +10c +d - (10a+b) = 99(10a+b) +10c+d)$.
El enunciado nos dice además que el anteperíodo debe exceder en 12 unidades al período,  por tanto
$10a+b=10c+d+12$,  y entonces el numerador es $99(10a+b) +10c+d)= 99(10c+d+12)+10c+d= 100(10c+d) + 99\cdot{12}$.
El denominador 9900 es el producto de 36 y 275, dos números primos entre sí. Al simplificar la fracción debe quedar denominador 275, luego el numerador es múltiplo de 36.
Esto quiere decir (ya que  $99\cdot{12}$ lo es) que $100(10c+d)$ es multiplo de 36 y como 100 es múltiplo de 4, $10c+d$ debe se múltiplo de 9.
En otras palabras, el período es múltiplo de 9.
Además tiene dos cifras, y al sumarle 12, (anteperíodo) sigue teniendo dos cifras.
Luego hay 9 de las fracciones buscadas, que corresponden a los primeros nueve múltiplos de 9. [/spoiler]


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Si AB=8cm, PO=3cm y la longitud de AO¯¯¯¯¯¯¯¯ es un número natural, entonces, su longitud (en cm) es

A)1        B) 2        C) 3        D)4             E) 54          4