Fundamentos de Matemáticas, Teoría de Conjuntos y Paradojas

Reflexiones muy interesantes en este blog:
http://eltopologico.blogspot.com.es/
http://alejandrogarciadiego.com/libros/Bertrand.Russell.origen.de.las.paradojas.teoria.de.conjuntos_1.pdf
http://es.inforapid.org/index.php?search=Paradoja%20de%20Burali-Forti
http://eltopologico.blogspot.com.es/2008/10/el-omegn-y-todo-eso-parte-12.html


En la siguiente dirección ( http://cientifi.net/preguntas/4962/paradoja-de-russell-es-realmente-un-problema )
 encontramos la pregunta que transcribo a continuación con su respuesta:

En teoría de conjuntos existe una paradoja que se podría parafrasear cómo:

Sí el barbero del un pueblo corta el pelo a todos aquellos que no se cortan el pelo a sí mismos, ¿quién le corta el pelo al barbero?

Mis preguntas son:

¿Cuál es el enunciado exacto de la paradoja?
¿Cómo incide la paradoja en la construcción de la matemática?
¿Es un punto flaco?
¿Por qué no tenemos en cuenta estas paradojas en el quehacer diario matemático?

Respondiendo a la pregunta del título: no, no es un problema con las axiomatizaciones actuales de la teoría de conjuntos, aunque lo fue antes de disponer de tales axiomatizaciones. A grandes rasgos la historia es como sigue:

Hasta finales del siglo XIX y principios del siglo XX los conjuntos eran tratados (como casi todo en matemáticas hasta mediados del siglo XIX) de una manera poco formal y muy intuitiva; digamos que se aceptaba la definición de conjunto que se usa muchas veces en la escuela: algo del estilo "un conjunto es una colección de objetos que cumplen cierta condición".

En esa época empezaron a surgir las denominadas "paradojas", que no son otra cosa que verdaderas contradicciones al considerar ciertos conjuntos supuestamente válidos según la poco formal manera de trabajar con ellos que hasta ese entonces se tenía.

La situación entonces hasta principios del siglo XX era entonces la siguiente: en la rama más "elemental" de la matemática hay paradojas; toda noción matemática es reducible a conjuntos; por lo tanto, toda la matemática está plagada de contradicciones. A esto es lo que se le denomina usualmente "la crisis de los fundamentos".

Una de las paradojas más conocidas es la de Russel: ya que un conjunto es una colección de objetos que cumplen cierta condición, entonces Russell formó el conjunto . Una vez formado este conjunto, por el tercio excluso, debemos tener que o bien  o bien . Pero si , entonces  cumple la condición que define a los objetos de ; es decir . Por otro lado, si , entonces  no cumple la condición para ser miembro de y así ; de lo anterior llegamos, sin mucho esfuerzo, a que ¡ es equivalente a ! que a todas luces es "terriblemente contradictorio".

Esta paradoja (y otras más) obligaron a los matemáticos a dedicarle su atención a la teoría de conjuntos. Durante un periodo de aproximadamente 30 años se elaboraron varios sistemas axiomáticos para eliminar las contradicciones; los tres sistemas que han sobrevivido el paso del tiempo son: la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF); lateoría de clases de Von Neumann-Bernays-Goedel (NBG) y la teoría de tipos de Russell-Whitehead (esta última tan "engorrosa" que casi no es utilizada hoy en día).

Estas tres axiomatizaciones eliminaron no solo la paradoja de Russelll sino todas las otras paradojas que habían originado la crisis de los fundamentos (la paradoja de Cantor, la paradoja de Burali-Forti, etc.).

Quiero recalcar lo anterior, las actuales axiomatizaciones de la teoría de conjuntos evitan las paradojas estilo Russell, Cantor, Burali-Forti, etc y han soportado un centener de años sin que alguien haya podido descubrir una nueva contradicción dentro de ellas.

Ahora bien, ¿garantiza lo anterior la consistencia de estos sistemas axiomáticos? Claramente, no y sorprendentemente sabemos (gracias a los célebres teoremas de Goedel) que no es posible demosytrar la consistencia de esos sistemas dentro de ellos mismos. ¿Qué quiere decir lo anterior? Básicamente que no podemos tener garantía de que no vuelvan a presentarse contradicciones bien sea en ZF o en NBG o en la teoría de tipos (aunque recalco que han pasado cien años y nadie ha descubierto una contradicción en ellas).

¿Qué sucedería si alguien encontrase una contradicción en alguna de estas teorías? La comunidad matemática ya tiene claro que entonces habría que modificar apropiadamente los axiomas para eliminar estas nuevas paradojas.

Hasta aquí el texto copiado