¿Qué significa comprender en matemáticas?

¿Qué significa comprender en matemáticas?

Lo que en realidad me interesa no es el problema abstracto, filosófico, sino lo que me ocurre a mí, porqué hay tantas y tantas cosas que no entiendo.


La verdad es que esta entrada no está muy conseguida. Quiero reflejar en ella las dificultades con que me topo al estudiar e intentar comprender matemáticas.

Antes de comenzar, una reflexión sobre la educación y el aprendizaje
http://www.youtube.com/watch?v=-1Y9OqSJKCc

Recomiendo antes de leer lo que sigue ir a la siguiente discusión en el  foro de matemáticas: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=62420.msg264788#msg264788
discusión del foro de matemáticas Es muy interesante, y a su vez contiene enlaces a otras discusiones del foro y a otros documentos de la red.
Es inevitable que el tema de la comprensión en matemáticas o casos particulares de asuntos que no se comprenden o se comprenden mal, salgan mucho en el foro de matemáticas.
Aquí van dos enlaces a hilos que me parecen instructivos sobre este tema:
Enlace uno
Enlace dos

Aunque cambiaré en cuanto pueda el texto (en cuanto pueda pueden ser meses), para intentar mejorarlo, de momento sigo reproduciendo el texto antiguo

Alguna vez hice una lista, (de los temas que no entiendo) pero podría ser interminable, y no voy a repetirla.

Lo que quiero es reflexionar sobre qué me ocurre, para luego extraer conclusiones que me ayuden (a mí y quizá a otros) a mejorar.

CASO 1 .-   FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Tenemos por ejemplo el tema de la generalización de las funciones trigonométricas a la variable compleja. Puedo entender que el seno y el coseno, que se aplican a ángulos (medidos en grados sexagesimales o centesimales) puedan también aplicarse a números reales, mediante el artilugio del radíán: interpretamos el número 7 como la medida de un ángulo que, colocado como ángulo central de una circunferencia, abarca un arco cuya longitud es siete veces la longitud del radio de la circunferencia. Con mayor brevedad, seno de 7 significa seno del ángulo que mide 7 radianes. Sabiendo que  $$ 2 \pi $$      radianes corresponde a un ángulo de 360 grados hallamos que el ángulo de 7 radianes mide en grados sexagesimales  $$  \frac{7}{2 \pi} 360 $$ 

Sin embargo, ¿qué sentido puede tener el seno de un número complejo?

Entonces, lo que buscamos es una función de variable compleja que restringida a los números reales, cumpla las mismas propiedades que cumple la función seno entre números reales, y además que sea continua y derivable en el campo complejo, de la misma manera que lo es la función seno en el campo real

Esto se puede hacer de varias maneras, pero yo sólo me sé una, que es la que más sale en los libros de texto, que es caracterizar a la función seno por su desarrollo en serie de Taylor, que en este caso es una serie de potencias.

Hasta aquí lo comprendo todo perfectamente, pero en este punto comienzan a aparecer los primeros ribetes de incomprensión.

Son varias dudas que acechan en la sombra. En primer lugar, nunca me familiaricé del todo con la serie de Taylor. Es cierto que sé hallar la serie de Taylor del seno, o en general, de cualquier función que me echen, pero me cuesta un poco, hallarla. Quiero decir que me tengo que poner a ello.
 Otro tema es que no tengo claro porqué la serie de Taylor se halla de la forma que se halla. Tampoco tengo claro porqué converge a la función en cuestión.

Mira por dónde me han salido todas las cuestiones que debería investigar.

Asumiendo que todos estos temas están comprendidos, llegamos a la definición de seno de un número complejo:

¡Vale!

¿Ya lo entiendo todo? Bueno, faltan los detalles. Pero dicen que Dios está en los detalles.

Para entender los detalles tendría que leer sobre todos los asuntos que he comentado y desarrollar un trabajo sobre:

• Como se llega a las definiciones de seno, coseno y exponencial compleja, que están relacionados.
• Para justificar todos los trapicheos que se hacen con las series de potencias, tengo que aprenderr la teoría de series de números reales y la de números complejos, en todo lo que justifique las sumas y reordenaciones de series que se hacen
• Llegar a la fórmula para el seno y a la fórmula análoga para el coseno
• Comprobar que se cumplen todas las fórmulas de la trigonometría para estos seno y coseno, por ejemplo las fórmulas de seno y coseno de la suma y resta de ángulos. ¿Se cumplen todas las demás fórmulas?
• Por último estudiar las tres funciones, seno, coseno y exponencial como transformaciones del plano complejo.
  * Estudiar de manera análoga las funciones trigonométricas hiperbólicas
  
  

Cuando haga un trabajo con todo esto, estaré aprendiendo matemáticas.

CASO 2  DIFICULTADES CON LAS DEMOSTRACIONES LARGAS.

PARTE PRIMERA:  CONFESIÓN DE UNA SITUACIÓN

Estudio matemáticas por mi cuenta y tengo dificultades con demostraciones largas.
Por ejemplo la demostración de que el número e es trascendente.
Quisiera consejos o trucos o procedimientos que se puedan usar para no perderse, para identificar lo que no entiendo, en fin, métodos que me ayuden a comprender y memorizar tales demostraciones.


PARTE SEGUNDA:  POSIBLES SOLUCIONES

Algunas ideas, aunque ninguna es la panacea...

1.Leetelo primero "por encima", para tener una idea del conjunto.

2.En una segunda lectura tienes que entender cada ecuación. No pases a la siguiente hasta que no entiendas las anteriores. Es uno de los motivos mas habituales de frustración entre mis alumnos, se pierden cada vez mas, según avanzan sin haber entendido los conceptos precedentes.

3.En las siguientes lecturas debes memorizar la demostración. Mucho ojo con esta frase, no se trata de memorizar cada letra, sino de memorizar los pasos y el objetivo de cada uno para poder repetirlos.

Trata de dividirlo en secciones y hacerte un guión de las mismas. En matemáticas todo va muy conectado, pero en ciertas demostraciones puedes aislar grupos de 3 o 4 ecuaciones con un mismo propósito. Describe el propósito de cada sección con una frase.

Redacta la demostración de memoria. Cuando no hayas entendido algún paso, o no hayas identificado su propósito, no serás capaz de repetirlo. Así reconoces tus puntos flojos y puedes volver sobre ellos.

Si algún punto te cuesta entenderlo buscalo en otro texto, aunque sea googleando. A menudo una frase concreta que no eres capaz de entender en un texto te parece fácilmente comprensible en otro. A menudo un texto rellena lagunas de otro. Ninguno es perfecto.

Si quieres mejorarlo aun mas, explícaselo a otra persona. O redáctalo y cuelgalo en algún foro. Te van ha hacer preguntas o críticas que no te habías planteado, y te van a ayudar a profundizar entre ambos.



PARTE TERCERA:  SI PONGO EN PRÁCTICA ESTAS SUGERENCIAS, ALGÚN EFECTO TENDRÁ...

La verdad es que gran parte de las sugerencias que me haces ya las ponía yo en práctica, pero de manera desorganizada, no sistemática. Desde luego nunca llegaba bien a la última parte, ser capaz de reproducir la demostración, pero desde la comprensión de la misma, no utilizando  sólo "memoria bruta".
Reflexionando sobre las ideas que expones he elaborado un "protocolo de actuación" para mi uso personal:
     1) Primera lectura, a vista de pájaro, pero viendo la estructura, longitud y algunas dificultades de la prueba en cuestión.
     2) Segundo paso: intentar comprender paso a paso lo que se expone en la demostración, aunque sin preocuparme en este momento de nada más. Si algún paso concreto se resiste, anotarlo y dejarlo para después.
     3) Dividir la prueba en partes o secciones, expresando mediante breve frase el objetivo de cada una de las secciones.
     4) Escribir un esquema o guión de la prueba, que se compone de cada una de las secciones: el título o enunciado que doy a cada sección, junto con el propósito de cada una y su relación con la totalidad de la prueba.
     5) Revisar la prueba: ahora hay que entenderlo todo, recurriendo a libros alternativos, este foro y a lo que haga falta. 
     6) Reproducir la prueba, a la vista del esquema que fabriqué en el punto 4 o bien "a pelo"

     En este punto ya he conseguido el objetivo, aunque caben más actuaciones: preguntarse si se puede cambiar algo, quizá simplificar, profundizar en las relaciones entre unos apartados y otros, identificar las "ideas felices" que el autor se "saca de la chistera" como por arte de magia sin que quede rastro del motivo por el que lo hace....
     He aplicado esta manera de proceder a una prueba de tamaño "mediano" y que me parecía bastante difícil,  la demostración "elemental" de que  que aparece en el "libro de las demostraciones" de Martin Algner y otro, y que se atribuye a los hermanos Akiva e Isaak Yaglom, y en un par de días he conseguido dar los seis pasos del "protocolo" que he descrito. He dado un paso adelante, con respecto a lo que era capaz de hacer antes de adoptar ese "protocolo".
     Por tanto, gracias de nuevo por las sugerencias.
     En cuanto tenga tiempo me voy a poner a trabajar en una demostración de la trascendencia del número e.
     Ya contaré cómo me va.


CONCLUSIONES QUE SE PUEDEN SACAR DE LOS DOS CASOS:

Bien, eso está por ver: ¿dónde fallo? ¿Cuáles son los motivos de que me detenga y no avance en la comprensión de determinado tema?
Complejidad, novedad, pasos que se omiten, verdades que se dan por supuestas y no se expresan, estilo rebuscado en la expresión del autor que estoy leyendo, estilo retorcido en el razonamiento....
Queda pendiente un análisis de los casos que cito y quizá de otros más para poder extraer conclusiones.....

( ESTA DISCUSIÓN PUEDES ENCONTRARLA EN EL FORO DE MATEMATICAS)

Se supone que de estos casos tengo que extraer conclusiones generales sobre la dificultad para comprender matemáticas.

Antes de acabar definitivamente, voy a hablar de una demostración corta, pero en la que siempre me lío.
Se trata de lo siguiente:
Un grupo es un conjunto no vacío sobre el que se ha definido una ley de composición interna que es asociativa, posee elemento neutro y elemento inverso o simétrico de cada elemento del grupo. Esto te lo dicen, de una forma u otra, todos los textos que tratan de teoría de grupos.

Algunos textos, además te dicen que en realidad no es necesario suponer unicidad de neutro ni inverso y que solo hay que suponer existencia de neutro por la izquierda (derecha) y simétrico  por la izquierda (derecha)
Se trata de demostrar esto, es decir que dada una ley de composición interna  asociativa en la cual existe al menos  un elemento e tal que para cualquier elemento eg=g   y además para cualquier elemento g existe al menos un elemento h tal que hg =e, entonces  se trata de un grupo.

Usualmente la prueba se despacha en tres o cuatro líneas, y aún cuando creo haberla entendido, me lleva siempre a confusión.

Encontré un texto dónde se hacía con más detenimiento, y copio ahora un resumen de los pasos que hay que dar, en la línea de los consejos que me dan en el CASO II de esta misma entrada.

PRIMER PASO:   gg=g implica g=e
SEGUNDO PASO:  Si hg = e entonces gh = e
TERCER  PASO: El neutro por la izquierda también es neutro por la derecha
CUARTO PASO:  El elemento neutro por la izquerda es único
 QUINTO   PASO :  Simétrico es único
 SEXTO PASO: Si existe un neutro por la derecha coincide con el neutro del grupo.
SÉPTIMO  PASO  Si existe simétrico derecha, coincide con simétrico


Ahora se trata de seguir este esquema para realizar la demostración.

Un caso concreto de cómo se pueden tener dificultades para comprender un enunciado, teorema o problema, y qué se puede hacer para desbloquear la situación
También es un enlace al foro

Antes de acabar, enlazar a otro hilo del FORO DE MATEMATICAS donde se tratan temas relacionados con los de esta entrada

HASTA LA PRÓXIMA ENTRADA.